Core Concepts
이 논문에서는 짝수 dihedral Artin 그룹에 대한 뒤틀린 공액 문제를 완전히 해결한다.
Abstract
이 논문은 짝수 dihedral Artin 그룹에 대한 뒤틀린 공액 문제를 해결하는 것을 목표로 한다.
첫째, 짝수 dihedral Artin 그룹 G(m)이 Baumslag Solitar 그룹 BS(n, n)과 동형임을 관찰한다. 이를 통해 G(m)의 외부 자동동형군을 분류할 수 있다.
둘째, BS(n, n)이 자유군 Fn과 정수 Z의 준직곱 형태로 표현됨을 이용한다. 이 준직곱 형태를 활용하여 짝수 dihedral Artin 그룹에 대한 뒤틀린 공액 문제를 해결하는 알고리즘을 구축한다.
알고리즘의 핵심 아이디어는 뒤틀린 공액 클래스 내에서 최소 길이를 가지는 대표 원소들 사이에는 일련의 '이동' 관계가 성립한다는 것이다. 이러한 이동 관계를 통해 각 뒤틀린 공액 클래스의 최소 길이 대표 원소들을 효과적으로 구할 수 있다.
마지막으로 짝수 dihedral Artin 그룹의 모든 부분군에 대해 orbit 결정가능성을 증명하고, 이를 활용하여 dihedral Artin 그룹의 확장에서 공액 문제를 해결한다.
Stats
짝수 dihedral Artin 그룹 G(m)은 Baumslag Solitar 그룹 BS(n, n)과 동형이다. 여기서 n = m/2 ≥ 2.
BS(n, n)은 자유군 Fn과 정수 Z의 준직곱 형태로 표현될 수 있다.
짝수 dihedral Artin 그룹 G(m)의 외부 자동동형군 Out(G(m))은 D∞ × C2와 동형이다.
Quotes
"이 논문에서는 짝수 dihedral Artin 그룹에 대한 뒤틀린 공액 문제를 완전히 해결한다."
"알고리즘의 핵심 아이디어는 뒤틀린 공액 클래스 내에서 최소 길이를 가지는 대표 원소들 사이에는 일련의 '이동' 관계가 성립한다는 것이다."
"마지막으로 짝수 dihedral Artin 그룹의 모든 부분군에 대해 orbit 결정가능성을 증명하고, 이를 활용하여 dihedral Artin 그룹의 확장에서 공액 문제를 해결한다."