벡터 다발에 대한 비선형 사상의 Newton 방법

Core Concepts

이 논문에서는 Banach 다양체 X에서 벡터 다발 E로의 사상 F에 대한 Newton 방법을 다룹니다. 이를 위해 E에 대한 연결과 X에 대한 retraction이 필요합니다. 적절한 미분 개념을 사용하여 국소 수렴성을 논의하며, Banach 공간 버전의 Riemannian 거리를 사용합니다. 또한 선형 공간에서의 affine 공변 감쇠 전략을 이 설정으로 확장합니다.

Abstract

이 논문은 Banach 다양체 X에서 벡터 다발 E로의 사상 F에 대한 Newton 방법을 다룹니다.

도입

Newton 방법은 비선형 문제 해결을 위한 핵심 알고리즘이며, 다양한 이론적 도구로도 사용됩니다.
대부분의 문헌은 선형 공간 사이의 문제를 다루지만, 다양체 설정으로 확장할 수 있습니다.
이 논문에서는 더 일반적인 설정, 즉 X가 다양체이고 E가 벡터 다발인 경우의 Newton 방법을 탐구합니다.

예비 지식

Banach 다양체, 벡터 다발, 섬유별 선형 사상, 벡터 전송, 연결 등의 개념을 소개합니다.
특히 연결은 Newton 방정식을 적절히 정의하는 데 필요합니다.

Newton 방법의 정의

F : X → E가 미분 가능하다고 가정합니다.
Newton 방향 δx는 QF(x) ◦ F'(x)δx + F(x) = 0y(x)를 만족하는 유일한 해로 정의됩니다.
새로운 반복은 retraction Rx를 사용하여 x+ = Rx(δx)로 계산됩니다.

Newton 미분 가능성과 엄밀 미분 가능성

Newton 미분 가능성과 엄밀 미분 가능성이라는 두 가지 미분 개념을 소개합니다.
이는 국소 수렴성 분석을 위해 필요합니다.

국소 수렴성

다양체 상의 거리 개념을 정의합니다. 이는 Riemannian 거리보다 일반적인 Banach 공간 노름을 사용합니다.
Newton 미분 가능성과 엄밀 미분 가능성에 대한 기하학적 기준을 도출합니다.
이를 통해 a priori 수렴성 분석과 a posteriori 량 사이의 연결을 제공합니다.

Stats

없음

Quotes

없음

Key Insights Distilled From

Newton's method for nonlinear mappings into vector bundles

by Laura Weigl,... at arxiv.org 04-08-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.04073.pdf

Deeper Inquiries

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