Core Concepts
온라인-LOCAL 모델에서 (√n × √n) 그리드의 3-착색 문제에 대한 최적의 Ω(log n) 하한 경계를 보여준다. 또한 (√n × √n) 토로이드 및 실린더 그리드에 대해 Ω(√n) 하한 경계를 보여준다.
Abstract
이 논문은 그래프 문제의 지역성에 대해 연구한다. 특히 온라인-LOCAL 모델에서 그리드 3-착색 문제의 최적 하한 경계를 제시한다.
주요 내용은 다음과 같다:
온라인-LOCAL 모델에서 (√n × √n) 그리드의 3-착색 문제에 대한 Ω(log n) 하한 경계를 증명한다. 이는 [AEL+23]에서 제시한 O(log n) 알고리즘의 최적성을 보여준다.
온라인-LOCAL 모델에서 (√n × √n) 토로이드 및 실린더 그리드의 3-착색 문제에 대한 Ω(√n) 하한 경계를 증명한다. 이는 LOCAL 모델에서의 기존 Ω(√n) 하한 경계와 일치한다.
새로운 개념인 b-값을 도입하여, 그리드 상의 경로와 사이클의 특성을 분석한다. b-값의 성질을 활용하여 하한 경계 증명에 핵심적인 역할을 한다.
온라인-LOCAL 모델에서 기존 하한 경계 증명 기법의 한계를 극복하기 위해 새로운 접근법을 제시한다. 이는 온라인-LOCAL 모델의 강력한 특성을 활용한다.
Stats
그리드 상의 경로 P의 길이 ℓ와 양 끝점의 색깔 i(u) + i(v)에 따라 b(P) ≡ i(u) + i(v) + ℓ (mod 2)가 성립한다.
그리드 상의 사이클 C의 b-값은 항상 0이다.
Quotes
"온라인-LOCAL 모델에서 그리드 3-착색 문제의 지역성은 Ω(log n)이다."
"온라인-LOCAL 모델에서 (√n × √n) 토로이드 및 실린더 그리드의 3-착색 문제의 지역성은 Ω(√n)이다."