두 개의 동치 관계를 가진 2변수 일차 논리에서 보간자 존재성 문제는 결정 불가능하다

Core Concepts

두 개의 동치 관계를 가진 2변수 일차 논리에서 보간자 존재성 문제는 결정 불가능하다. 이는 명시적 정의 존재성 문제에도 적용된다.

Abstract

이 논문은 결정 가능한 일차 논리 단편에 대해 보간자 존재성 문제(IEP)가 결정 불가능하다는 첫 번째 사례를 제시한다. 구체적으로 다음과 같은 내용을 다룬다: 두 개의 동치 관계를 가진 2변수 일차 논리(FO22E)와 상수를 포함한 두 개의 동치 관계를 가진 2변수 보호 단편(GF22Ec)에 대해 IEP가 결정 불가능함을 보인다. 이 결과를 통해 불린 연산자와 동일성 관계를 포함하는 기술 논리 𝒜ℒ𝒞∩,¬,id2E에 대해서도 IEP와 명시적 정의 존재성 문제(EDEP)가 결정 불가능함을 보인다. 이는 결정 가능한 단편에 대해 IEP가 결정 가능하다는 기존 추측을 반박하는 것이다. 이러한 결과는 보간자 기반 기술과 명시적 정의 추출 기술을 이러한 단편에 적용하기 어려움을 시사한다.

Stats

𝜙(𝑥) ∧∃𝑦(𝑅(𝑥, 𝑦) ∧𝑋1(𝑦)) ∧∀𝑥[𝑋1(𝑥) →∃𝑦(𝑅(𝑥, 𝑦) ∧𝑋2(𝑦))] ∧∀𝑥[𝑋2(𝑥) →∃𝑦(𝑅(𝑥, 𝑦) ∧𝑋0(𝑦))] ∧∀𝑥, 𝑦[(𝑋0(𝑥) ∧𝑋0(𝑦)) →𝑥= 𝑦] ∧∃𝑦[𝑆(𝑥, 𝑦) ∧⋀𝐴𝑖∈Γ(𝐴𝑖(𝑦) →𝐴𝑖(𝑦))] ¬𝜓(𝑥)는 무한 Post 대응 문제의 해를 생성하는 복잡한 공식이다.

Quotes

없음

Key Insights Distilled From

Interpolant Existence is Undecidable for Two-Variable First-Order Logic with Two Equivalence Relations

by Frank Wolter... at arxiv.org 04-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.02683.pdf

Deeper Inquiries

한 개의 동치 관계를 가진 2변수 일차 논리(FO21E)에서 IEP가 결정 가능한지 여부는 어떨까?

FO21E에서 IEP 결정 가능성에 대한 문제는 FO22E와 비교하여 더 간단한 경우입니다. FO21E의 결정 가능성과 관련된 증명은 FO22E의 경우보다 훨씬 간단하며, FO21E에 대한 복잡성 경계는 FO22E와 동일합니다. 따라서 FO21E에서 IEP가 결정 가능할 가능성이 높습니다. 또한, 동치 관계 대신 단일 이행 관계를 추가하는 경우에는 어떻게 되는지에 대한 추가 연구가 필요할 것입니다.

등식을 제외한 2변수 일차 논리에서 IEP가 여전히 결정 불가능한지 여부는 어떨까?

등식을 제외한 2변수 일차 논리에서 IEP의 결정 불가능성은 FO2와 관련된 연구에서 밝혀졌습니다. FO2에서 동치 관계를 제외하고도 IEP가 결정 불가능하다는 것이 밝혀졌으므로, 등식을 제외한 경우에도 IEP의 결정 불가능성이 여전히 유지될 것으로 예상됩니다. 이러한 결과는 FO2의 복잡성과 관련된 특성을 고려할 때 합리적인 결론입니다.

𝒜ℒ𝒞𝒬ℐ𝒪에서 IEP가 결정 가능한지, 또한 계수를 포함하는 2변수 논리(C2)에서는 어떨까?

𝒜ℒ𝒞𝒬ℐ𝒪에서 IEP의 결정 가능성은 현재 알려진 정보에 따라 뚜렷하지 않습니다. 𝒜ℒ𝒞𝒬ℐ𝒪는 다양한 연산자를 포함하고 있어서 IEP의 복잡성이 이전에 연구된 논리와 다를 수 있습니다. 따라서, 𝒜ℒ𝒞𝒬ℐ𝒪에서 IEP의 결정 가능성에 대한 추가 연구가 필요합니다. 계수를 포함하는 2변수 논리(C2)에서의 IEP에 대해서는 FO22E의 경우와 유사한 방법으로 접근할 수 있습니다. C2의 복잡성과 특성을 고려하여 IEP의 결정 불가능성을 증명하는 연구가 필요할 것입니다. C2의 특징을 고려하여 새로운 접근 방식을 통해 IEP의 결정 가능성을 평가하는 연구가 중요할 것으로 보입니다.