그래프와 문자열 매개변수: 경로폭, 절단폭 및 지역성 수 간의 연관성

Core Concepts

그래프 매개변수인 경로폭과 절단폭이 문자열 매개변수인 지역성 수와 밀접한 관련이 있음을 보여준다. 이를 통해 지역성 수 계산의 복잡도와 근사 알고리즘을 분석할 수 있다.

Abstract

이 논문은 그래프 매개변수인 경로폭(pathwidth)과 절단폭(cutwidth)이 문자열 매개변수인 지역성 수(locality number)와 어떤 관련이 있는지 조사한다.
먼저 저자들은 문자열 α를 그래프 Hα로 변환하는 두 가지 방법을 제시한다. 첫 번째 방법에서는 α의 위치를 정점으로 나타내고, 두 번째 방법에서는 α에 등장하는 문자를 정점으로 나타낸다. 이를 통해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다:

loc(α) ≤ pw(Hα) ≤ 2 loc(α)
cw(Hα) = 2 loc(α)

이는 지역성 수와 경로폭, 절단폭 사이의 밀접한 관계를 보여준다.
이러한 관계를 통해 다음과 같은 복잡도 결과를 도출할 수 있다:

Loc 문제는 NP-완전이지만, 지역성 수 또는 알파벳 크기로 매개변수화하면 FPT 알고리즘으로 해결할 수 있다.
MinLoc 문제에 대해 O(√log(opt) log(n)) 근사 알고리즘이 존재한다.
또한 저자들은 절단폭과 경로폭 사이의 직접적인 근사 보존 환원을 제시한다. 이를 통해 경로폭 근사 알고리즘의 성능을 절단폭 근사 알고리즘에 적용할 수 있다.

Stats

loc(α) ≤ pw(Hα) ≤ 2 loc(α)
cw(Hα) = 2 loc(α)

Quotes

"We investigate the locality number, a recently introduced structural parameter for strings (with applications in pattern matching with variables), and its connection to two important graph-parameters, cutwidth and pathwidth."
"These connections allow us to show that computing the locality number is NP-hard, but fixed-parameter tractable, if parameterised by the locality number or by the alphabet size, which has been formulated as open problems in the literature."
"Moreover, the locality number can be approximated with ratio O(√log(opt) log(n))."

Key Insights Distilled From

Graph and String Parameters: Connections Between Pathwidth, Cutwidth and the Locality Number

by Katrin Casel... at arxiv.org 04-26-2024

https://arxiv.org/pdf/1902.10983.pdf

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