Core Concepts
평면 영역에서 선형 수의 에지로 2 + ϵ 스트레치 스패너를 구축할 수 있으며, Steiner 점을 사용하면 1 + ϵ 스트레치 스패너를 구축할 수 있다. 또한 트리 메트릭에서 non-Steiner 트리 커버의 크기-스트레치 트레이드오프에 대한 새로운 통찰을 제공한다.
Abstract
이 논문은 평면 영역에서의 스패너 구축 문제를 다룬다. 저자들은 먼저 트리 메트릭에서 non-Steiner 트리 커버의 크기-스트레치 트레이드오프를 분석한다.
non-Steiner 트리 커버 문제에서는 주어진 트리 T와 터미널 집합 K에 대해, K 사이의 거리를 최소한의 추가 정점(Steiner 점) 없이 보존하는 작은 수의 트리들의 집합을 찾는 것이 목표이다. 저자들은 이 문제에서 스트레치 2를 기준으로 흥미로운 임계점 현상을 발견했다:
- 스트레치 2-ϵ의 경우 Ω(n)개의 트리가 필요하다.
- 스트레치 2의 경우 Θ(log n)개의 트리가 필요하고 충분하다.
- 스트레치 2+ϵ의 경우 상수 개의 트리로 충분하다.
이러한 non-Steiner 트리 커버 결과를 바탕으로, 저자들은 평면 영역에서 선형 수의 에지로 2+ϵ 스트레치 스패너를 구축할 수 있음을 보인다. 또한 Steiner 점을 사용하면 1+ϵ 스트레치 스패너를 구축할 수 있으며, 이때 에지 수의 ϵ에 대한 의존도를 거의 선형으로 줄일 수 있다.
Stats
평면 영역에서 2-스패너를 구축하려면 Ω(n log n)개의 에지가 필요하다.
평면 영역에서 2+ϵ-스패너를 구축할 수 있으며, 에지 수는 O(n)이다.
폴리헤드럴 영역에서 1+ϵ-Steiner 스패너를 구축할 수 있으며, 에지 수는 O((n/ϵ) log(ϵ^-1 α(n)) log ϵ^-1)이다.
Quotes
"There exists a polyhedral terrain and a set P of n points on the terrain such that any 2-spanner for P must have Ω(n log n) edges."
"Given any set P of n points in a polyhedral terrain, we can construct a (2 + ϵ)-spanner for P with ˜O(n/ϵ^6) edges. The number of edges is O(n) for a constant ϵ."
"Let ϵ ∈ (0,1) be a parameter. We can construct a Steiner (1+ϵ)-spanner for P with O((n/ϵ) · log(ϵ^-1 α(n)) · log ϵ^-1) edges, where α(n) is the inverse Ackermann function."