Der Artikel untersucht die Beschränkungen der Dimension binärer linearer 3-Abfrage-lokal korrigierbarer Codes (LCCs).
Zunächst wird gezeigt, dass jeder Vektor x in F_2^k als Summe von höchstens O(δ^-2 log n * log log n) Vektoren aus der Menge {v_1, ..., v_n} dargestellt werden kann, wobei die v_i die Zeilenvektoren einer Generatormatrix des LCCs sind. Dies impliziert direkt eine obere Schranke von O(δ^-2 log^2 n * log log n) für die Dimension des Codes.
Der Beweis nutzt eine iterative Kompressionsargument, das auf der Existenz von Regenbogenzyklen in geeignet gefärbten Graphen basiert, die durch das jüngste Durchbruchsergebnis von [ABS+23] garantiert wird. Dabei werden lokale Ersetzungen der Vektoren v_i durch Summen anderer v_j ausgenutzt, um die Darstellung von x schrittweise zu verkürzen.
Darüber hinaus wird gezeigt, wie sich diese Methode auf binäre lineare LCCs mit höherer Abfragekomplexität verallgemeinern lässt, indem der Begriff des "Regenbogen-LDC" eingeführt wird. Dies führt zu verbesserten oberen Schranken für die Dimension binärer linearer LCCs mit ungerader Abfragekomplexität r ≥ 5.
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by Omar Alrabia... alle arxiv.org 04-10-2024
https://arxiv.org/pdf/2404.05864.pdfDomande più approfondite