approfondimento - Mathematik - # Metrisches Menger-Problem

Das metrische Menger-Problem: NP-Vollständigkeit und lokale Überprüfbarkeit

Q: Wie schwer ist MM(2, k) und ist es ein guter Kandidat für ein NP-intermediäres Problem?

Um die Schwierigkeit von MM(2, k) zu bestimmen, müssen wir die Komplexität des Problems analysieren. In der bereitgestellten Kontextinformation wird darauf hingewiesen, dass MM(1, k) in Polynomialzeit lösbar ist. Allerdings ist MM(3, 3) NP-vollständig, was bedeutet, dass es schwierig ist, aber in Polynomialzeit überprüfbar ist. Es wird auch darauf hingewiesen, dass die Konstruktion für MM(3, k) nicht gut auf den Fall r = 2 übertragbar ist. Dies legt nahe, dass MM(2, k) möglicherweise eine Zwischenstufe zwischen P und NP-vollständig sein könnte, was es zu einem potenziellen Kandidaten für ein NP-intermediäres Problem macht.

Q: Können wir MM(r, k) effizient in planaren Graphen lösen? Was ist mit Graphen, die von Minoren ausgeschlossen sind?

Die Effizienz der Lösung von MM(r, k) in planaren Graphen hängt von der spezifischen Struktur des Problems ab. Es wird darauf hingewiesen, dass MM(r, k) in XP liegt, wenn es nach Baumweite und maximalem Grad parametrisiert wird. Dies bedeutet, dass das Problem in planaren Graphen effizient lösbar sein könnte, da planare Graphen eine niedrige Baumweite haben. Für Graphen, die von Minoren ausgeschlossen sind, ist die Effizienz der Lösung von MM(r, k) weniger klar. Es wird jedoch darauf hingewiesen, dass die Struktur des Problems durch die Reduktion auf ein einfaches m-lokal überprüfbares Problem erhalten bleibt. Dies legt nahe, dass die Lösung von MM(r, k) in Graphen, die von Minoren ausgeschlossen sind, ebenfalls effizient sein könnte, insbesondere wenn die Struktur des Problems erhalten bleibt.

Concetti Chiave

Das metrische Menger-Problem ist NP-vollständig für r ≥ 3 und k ≥ 2, aber in XP, wenn nach Baumweite und maximalem Grad parametrisiert wird.

Sintesi

Einleitung

Menger-Theorem: minimale Schnittgröße für paarweise disjunkte Pfade
Coarse Graphentheorie: Beziehung zur metrischen Geometrie

Konjektur und Beweis

Konjektur von Georgakopoulos und Papasoglu zu MM(3, 3)
Beweis der NP-Vollständigkeit für MM(r, k) für r ≥ 3 und k ≥ 2

Lokal überprüfbare Probleme

Definition und Beziehung zu MM(r, k)
MM(r, k) ist in XP bei parametrisierter Baumweite und maximalem Grad

Offene Fragen

Schwierigkeit von MM(2, k) und Effizienz in planaren Graphen

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Statistiche

Wir beweisen, dass das Problem MM(r, k) NP-vollständig ist.
Das Problem MM(r, k) ist in XP bei parametrisierter Baumweite und maximalem Grad.

Citazioni

"Das Problem MM(r, k) ist NP-vollständig, selbst auf Graphen mit höchstens vier Grad."
"Wir beweisen, dass das Problem MM(r, k) in XP liegt, wenn nach Baumweite und maximalem Grad parametrisiert wird."

Approfondimenti chiave tratti da

The metric Menger problem

by Júli... alle arxiv.org 03-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.05630.pdf

Domande più approfondite

Wie schwer ist MM(2, k) und ist es ein guter Kandidat für ein NP-intermediäres Problem?

Um die Schwierigkeit von MM(2, k) zu bestimmen, müssen wir die Komplexität des Problems analysieren. In der bereitgestellten Kontextinformation wird darauf hingewiesen, dass MM(1, k) in Polynomialzeit lösbar ist. Allerdings ist MM(3, 3) NP-vollständig, was bedeutet, dass es schwierig ist, aber in Polynomialzeit überprüfbar ist. Es wird auch darauf hingewiesen, dass die Konstruktion für MM(3, k) nicht gut auf den Fall r = 2 übertragbar ist. Dies legt nahe, dass MM(2, k) möglicherweise eine Zwischenstufe zwischen P und NP-vollständig sein könnte, was es zu einem potenziellen Kandidaten für ein NP-intermediäres Problem macht.

Können wir MM(r, k) effizient in planaren Graphen lösen? Was ist mit Graphen, die von Minoren ausgeschlossen sind?

Die Effizienz der Lösung von MM(r, k) in planaren Graphen hängt von der spezifischen Struktur des Problems ab. Es wird darauf hingewiesen, dass MM(r, k) in XP liegt, wenn es nach Baumweite und maximalem Grad parametrisiert wird. Dies bedeutet, dass das Problem in planaren Graphen effizient lösbar sein könnte, da planare Graphen eine niedrige Baumweite haben.
Für Graphen, die von Minoren ausgeschlossen sind, ist die Effizienz der Lösung von MM(r, k) weniger klar. Es wird jedoch darauf hingewiesen, dass die Struktur des Problems durch die Reduktion auf ein einfaches m-lokal überprüfbares Problem erhalten bleibt. Dies legt nahe, dass die Lösung von MM(r, k) in Graphen, die von Minoren ausgeschlossen sind, ebenfalls effizient sein könnte, insbesondere wenn die Struktur des Problems erhalten bleibt.