Energieerhaltende adaptive Zeitdiskretisierung für port-hamiltonsche Systeme

Concetti Chiave

Durch eine zielorientierte a-posteriori Fehlerschätzung kann eine adaptive Zeitdiskretisierung für port-hamiltonsche Systeme erreicht werden, die die Energiebilanz besser erfüllt als gleichmäßige Verfeinerungen oder traditionelle schrittweite-gesteuerte Zeitschrittverfahren.

Sintesi

Der Artikel präsentiert einen Ansatz zur adaptiven Zeitverfeinerung für port-hamiltonsche Systeme, um die Energiebilanz möglichst genau aufzulösen. Port-hamiltonsche Systeme erfüllen eine Energiebilanz zwischen gespeicherter, dissipierter und zugeführter Energie. Um diese Bilanz in der Zeitdiskretisierung genau abzubilden, schlagen die Autoren eine adaptive Gitterverfeinerung basierend auf einer a-posteriori Fehlerschätzung vor.
Die Fehlerschätzung beinhaltet die Berechnung von Adjungiertsensitivitäten. Um diese als rückwärts-in-der-Zeit-Gleichung zu interpretieren, zeigen die Autoren, dass der Adjungiertzustand stückweise schwach differenzierbar ist. Unter Ausnutzung der Dissipatitivität der port-hamiltonschen Dynamik präsentieren sie dann eine parallelisierbare Approximation des zugrundeliegenden Adjungiertensystems im Sinne einer Block-Jacobi-Methode, um effizient Fehlerindikatoren zu berechnen.
Die numerischen Experimente zeigen, dass der vorgeschlagene Ansatz eine kleinere Verletzung der Energiebilanz im Vergleich zu gleichmäßigen Verfeinerungen und traditionellen schrittweite-gesteuerten Zeitschrittverfahren liefert.

Statistiche

"Die Energiebilanz kann auf kontinuierlicher Ebene durch (2.2) und (2.3) beschrieben werden."
"Für geschlossene hamiltonsche Systeme ohne Dissipation kann die Energiebilanz auf der diskreten Ebene exakt erfüllt werden, wenn symplektische Integrationsverfahren verwendet werden."
"Für port-hamiltonsche Systeme mit Dissipation und Eingängen ist es nicht möglich, die Energiebilanz exakt auf der diskreten Ebene zu erfüllen."

Citazioni

"Stattdessen schlagen wir einen Ansatz vor, der auf zielgerichteter a-posteriori Adaptivität basiert, wie er in den wegweisenden Arbeiten [3,8] initiiert wurde."
"Unser Hauptbeitrag ist die Anwendung zielgerichteter Techniken auf lineare endlichdimensionale port-hamiltonsche Systeme, indem wir eine Quantity of Interest formulieren, die die Verletzung der Energiebilanz zum Ziel hat."

Approfondimenti chiave tratti da

Goal-oriented time adaptivity for port-Hamiltonian systems

by Andreas Bart... alle arxiv.org 04-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.02641.pdf

Domande più approfondite

Wie könnte der vorgeschlagene Ansatz auf nichtlineare port-hamiltonsche Systeme erweitert werden?

Um den vorgeschlagenen Ansatz auf nichtlineare port-hamiltonsche Systeme zu erweitern, müssten zunächst die nichtlinearen Effekte in die Modellierung einbezogen werden. Dies könnte durch die Verwendung von nichtlinearen Funktionen in den Hamiltonian und Dissipationsmatrizen erfolgen. Anschließend müssten die entsprechenden diskreten Gleichungen für die nichtlinearen Systeme formuliert werden, wobei iterative Verfahren wie Newton-Raphson zur Lösung der nichtlinearen Gleichungen eingesetzt werden könnten. Darüber hinaus müssten die Sensitivitäten und Fehlerindikatoren für die nichtlinearen Systeme neu definiert und berechnet werden, um die adaptive Gitterverfeinerung auf nichtlineare Systeme anzuwenden.

Welche Auswirkungen hätte eine Erweiterung des Verfahrens auf Mehrschrittverfahren oder implizite Runge-Kutta-Verfahren?

Eine Erweiterung des Verfahrens auf Mehrschrittverfahren oder implizite Runge-Kutta-Verfahren könnte zu einer verbesserten Genauigkeit und Stabilität der Simulation führen. Mehrschrittverfahren ermöglichen eine bessere Berücksichtigung der Systemdynamik über mehrere Zeitschritte hinweg, während implizite Runge-Kutta-Verfahren stabiler sind und größere Zeitschritte zulassen können. Dies könnte zu einer effizienteren und genaueren Lösung der port-hamiltonschen Systeme führen, insbesondere bei komplexen Systemen mit verschiedenen Zeitskalen und nichtlinearen Effekten.

Welche Implikationen hätte der Einsatz des vorgeschlagenen adaptiven Verfahrens für die Simulation von gekoppelten Feld-Schaltkreis-Problemen?

Der Einsatz des vorgeschlagenen adaptiven Verfahrens für die Simulation von gekoppelten Feld-Schaltkreis-Problemen könnte zu einer verbesserten Energiebilanz und Genauigkeit der Simulation führen. Durch die adaptive Gitterverfeinerung könnten die Berechnungen effizienter gestaltet werden, indem die Rechenressourcen dort konzentriert werden, wo der größte Fehler auftritt. Dies könnte zu einer genaueren Modellierung der Wechselwirkungen zwischen den verschiedenen physikalischen Domänen in gekoppelten Feld-Schaltkreis-Problemen führen und somit zu präziseren Vorhersagen und Optimierungen führen.