Concetti Chiave
In dieser Arbeit werden Konvergenzraten für das Finite-Volumen-Schema der stochastischen Wärmeleitungsgleichung mit multiplikativen Lipschitz-Rauschen und homogenen Neumann-Randbedingungen hergeleitet.
Sintesi
Die Autoren untersuchen die Konvergenz eines Finite-Volumen-Schemas für die stochastische Wärmeleitungsgleichung mit multiplikativer Lipschitz-Rauschstörung und homogenen Neumann-Randbedingungen. Sie betrachten eine semi-implizite Euler-Zeitdiskretisierung und ein Zwei-Punkt-Fluss-Approximationsschema (TPFA) für die Raum-Diskretisierung.
Zunächst werden Stabilität und Regularität der exakten Lösung sowie des semi-impliziten Euler-Schemas untersucht. Dann werden Fehlerabschätzungen zwischen der exakten Lösung, der Lösung des semi-impliziten Euler-Schemas und der Lösung des Finite-Volumen-Schemas hergeleitet. Daraus ergibt sich eine Gesamtfehlerabschätzung der Ordnung O(τ^(1/2) + h + hτ^(-1/2)), wobei τ den Zeitschritt und h die Gitterweite bezeichnen.
Die Autoren zeigen, dass die stochastische Natur des Problems zu schlechteren Konvergenzraten im Vergleich zum deterministischen Fall führt. Die Ergebnisse erweitern die bisherigen Konvergenzresultate für Finite-Volumen-Verfahren bei stochastischen partiellen Differentialgleichungen.
Statistiche
Es existiert eine Konstante K1 > 0, so dass für alle N ∈ ℕ gilt:
sup_{n ∈ {1,...,N}} E[∥v^n∥^2_2] + ∑^N_{n=1} E[∥v^n - v^{n-1}∥^2_2] ≤ K1
Es existiert eine Konstante K2 > 0, so dass für alle N ∈ ℕ gilt:
sup_{n ∈ {1,...,N}} E[∥v^n∥^4_2] + sup_{n ∈ {1,...,N}} E[∥∇v^n∥^10_2] + τ ∑^N_{n=1} E[∥Δv^n∥^2_2∥∇v^n∥^2_2] ≤ K2
Es existiert eine Konstante K3 > 0, so dass für alle N ∈ ℕ gilt:
sup_{n ∈ {1,...,N}} E[∥Δv^n∥^2_2] + ∑^N_{n=1} E[∥Δ(v^n - v^{n-1})∥^2_2] + τ ∑^N_{n=1} E[∥∇Δv^n∥^2_2] ≤ K3
Es existiert eine Konstante K4 > 0, so dass für alle s,t ∈ [0,T] gilt:
E[∥u(t) - u(s)∥^2_{L^2(Λ)}] ≤ K4|t-s|
Citazioni
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