Der Artikel befasst sich mit der Konstruktion von probabilistischen Überprüfungssystemen (PCPs) mit optimaler Kompromissbeziehung zwischen der Größe des Alphabets und der Soundness-Garantie.
Zunächst wird das Konzept der 2-Prover-1-Round-Spiele eingeführt, die eine äquivalente Formulierung des PCP-Theorems darstellen. Dabei geht es um die Maximierung der Anzahl der erfüllten Constraints in einem bipartiten Graphen mit Alphabeten für die beiden Prover.
Der Hauptbeitrag ist der Beweis eines nahezu optimalen Alphabet-Soundness-Kompromisses für solche 2-Prover-1-Round-Spiele. Konkret zeigen die Autoren, dass es NP-schwer ist, zwischen Spielen mit Wert mindestens 1 −δ und Wert höchstens 1/q1−ε zu unterscheiden, wobei q die Größe des Alphabets ist. Dies verbessert frühere Resultate deutlich.
Als Anwendungen werden Ergebnisse zur Härte der Approximation von Quadratischen Programmen, beschränkten Grad-2-CSPs sowie Konnektivitätsproblemen in Graphen präsentiert. Insbesondere wird gezeigt, dass es quasi-NP-schwer ist, Quadratische Programme innerhalb eines Faktors von (log n)1−o(1) zu approximieren.
Die technischen Hauptideen umfassen die Konstruktion eines "inneren PCP"-Spiels basierend auf dem Grassmann-Graphen sowie die Komposition dieses inneren Spiels mit einem "äußeren PCP"-Spiel. Dabei werden fortgeschrittene Methoden aus der Fourier-Analysis auf dem Grassmann-Graphen sowie eine neuartige "Abdeckungseigenschaft" benötigt.
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by Dor Minzer,K... alle arxiv.org 04-12-2024
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