線形楕円型、放物型、双曲型偏微分方程式の数値解法のための第一次系最小二乗ニューラルネットワーク

有界な多角形領域における線形楕円型、放物型、双曲型偏微分方程式を深層ニューラルネットワークを用いて数値的に解くための概念的枠組みを提案する。偏微分方程式は等価な第一次系の最小二乗残差を最小化する問題として定式化される。この最小二乗残差は偏微分方程式の弱残差に等しいか比例し、局所的なサブネットワークからの寄与で表され、ニューラルネットワークの偏微分方程式残差に関する局所的な「非平衡」を示す。これは数値損失関数として機能し、適応的最小二乗有限要素法における(準)最適な数値誤差推定量を構成する。さらに、ニューラルネットワークの適応的な成長戦略を提案し、最小二乗損失関数の正確な数値最小化を仮定すると、第一次系最小二乗定式化の正確な解に収束するニューラルネットワークの実現が得られる。