投票者の過半数を獲得するのに十分な候補者数はわずか6人

核心概念

多数決において、絶対的な勝者が存在しない場合でも、少数の候補者からなる委員会を選出すれば、過半数の支持を得られない候補者を排除できる。

要約

コンドルセ勝者集合の存在証明

本論文は、社会選択理論における重要な問題であるコンドルセのパラドックスを、委員会選出という文脈で考察しています。コンドルセのパラドックスとは、投票者が候補者をランク付けする選挙において、どの候補者が勝者となっても、過半数の投票者が別の候補者を好む可能性があるというものです。

Elkind、Lang、Saffidineは、この問題に対して、常に過半数の投票者から他のどの候補者よりも好まれるような、少数の勝者候補者からなる委員会を選択できるかどうかという疑問を提起しました。彼らは、このような委員会をコンドルセ勝者集合と呼び、その大きさをコンドルセ次元と定義しました。

本論文では、候補者数や投票者数に関わらず、コンドルセ次元が最大でも6であることを証明しています。つまり、常に6人以下の候補者からなる委員会が存在し、他のどの候補者も、その委員会のメンバー全員よりも過半数の投票者から好まれることはないということです。

この証明は、確率的手法とミニマックス定理を用いて行われています。まず、委員会上の特定の分布を構築し、その分布からサンプリングすることで、結果として得られる委員会が期待値においてα-優越性を持つことを示します。

本論文の貢献は、コンドルセのパラドックスに対する新たな知見を提供することにあります。少数の勝者を選ぶだけで、コンドルセのパラドックスの最も劇的な失敗を回避できることを示した点で、社会選択理論における重要な進歩と言えるでしょう。

統計

候補者数がkの場合、α-優越性を持つ委員会が常に存在するための十分条件は、α/(1-ln α) ≥ 2/(k+1) である。
特に、α = 1/2 の場合、k ≥ 3 + 4 ln 2 ≈ 5.77 であれば、上記の条件を満たす。
つまり、どのような選挙においても、最大でも6人の候補者からなるコンドルセ勝者集合が必ず存在する。

引用

"Though it is impossible to always find a single candidate that is always preferred over the others by a majority (called a Condorcet winner), one hope is that relaxations of this condition are still possible to achieve."
"These results show that just by having a few winners instead of one, the most dramatic failures of Condorcet’s paradox are avoidable."

抽出されたキーインサイト

Six Candidates Suffice to Win a Voter Majority

by Moses Charik... 場所 arxiv.org 11-07-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.03390.pdf

深掘り質問

コンドルセ勝者集合のサイズと、選挙の公平性や代表性の関係はどうなっているのだろうか？

コンドルセ勝者集合のサイズが小さいほど、その選挙結果が多数の有権者の選好を反映している可能性が高まり、公平性や代表性が高いと言えるでしょう。 コンドルセ勝者集合は、他のどの候補者よりも、過半数の有権者から支持を得られる候補者の集合です。つまり、コンドルセ勝者集合のサイズが小さいということは、それだけ多くの有権者の意見が一致しており、特定の候補者（たち）が大多数の支持を得ていることを示唆しています。
逆に、コンドルセ勝者集合のサイズが大きい場合、有権者の選好が分散しており、どの候補者も過半数の支持を集められていないことを意味します。このような状況では、選挙結果が真に民意を反映しているかどうか、疑問が生じる可能性があります。
ただし、コンドルセ勝者集合のサイズだけで選挙の公平性や代表性を完全に評価できるわけではありません。選挙制度や有権者の選好分布など、考慮すべき要素は他にも多数存在します。

実際の選挙において、コンドルセ勝者集合を特定するための効率的なアルゴリズムは存在するのだろうか？

残念ながら、現実の選挙においてコンドルセ勝者集合を特定するための効率的なアルゴリズムは存在しません。候補者数が多くなると、考えられるすべてのペアワイズ比較の数が指数関数的に増加するため、現実的な時間内でコンドルセ勝者集合を計算することが困難になります。
さらに、現実の選挙では、すべての有権者がすべての候補者に対して明確な選好を持っているとは限りません。一部の有権者は、特定の候補者に対して無関心だったり、情報不足のために明確な選好を表明できなかったりする可能性があります。このような不完全な選好情報の下では、コンドルセ勝者集合を正確に特定することはさらに困難になります。
ただし、近似的なアルゴリズムやヒューリスティックを用いることで、現実的な時間内で妥当な解を得られる可能性はあります。例えば、一部の有権者の選好情報を犠牲にして計算量を削減したり、特定の仮定を置くことで問題を単純化したりする方法が考えられます。

コンドルセのパラドックスは、民主主義における多数決の限界を示唆しているのだろうか？

コンドルセのパラドックスは、民主主義における多数決の完璧ではない側面を示唆しており、多数決が必ずしも集団の「真の」選好を反映するとは限らないことを示しています。多数決は、一見するとシンプルで公平な意思決定方法に見えますが、コンドルセのパラドックスは、個々の選好が合理的であっても、集団としての選好が循環的になり、矛盾が生じる可能性を示しています。
これは、民主主義における多数決の限界を示唆していると言えるでしょう。多数決は、あくまでも多数派の意見を反映するものであり、少数派の意見は軽視される可能性があります。また、コンドルセのパラドックスが示すように、多数決の結果が必ずしも集団の「最適な」選択になるとは限りません。
しかし、だからといって多数決が民主主義において無意味であるとか、放棄すべきであるということを意味するわけではありません。コンドルセのパラドックスは、多数決の抱える問題点を認識し、その限界を踏まえた上で、より良い意思決定方法を模索していくことの重要性を示唆していると言えるでしょう。
例えば、投票制度の設計や議論の場の設定など、多数決を取り巻く制度設計や運用方法によって、コンドルセのパラドックスがもたらす影響を軽減できる可能性があります。また、熟議民主主義のように、単に多数決を取るだけでなく、議論や対話を通じて合意形成を目指すアプローチも重要性を増しています。