核心概念
非捕捉ヘルムホルツ問題に対して、PML伝達条件を用いた重複領域分割法の収束性を示した。並列法と逐次法の両方について、幾何光学線の挙動に依存する回数の反復後に誤差が滑らかで任意の負の累乗のオーダーに小さくなることを証明した。これは、非自明な散乱体を持つヘルムホルツ問題に対する領域分割法の収束性に関する初めての波数依存的な結果である。
要約
本論文では、任意の次元のヘルムホルツ方程式に対して、大きな実数値の波数と滑らかな変数波速を持つ場合を考えている。放射条件はCartesian完全整合層(PML)で近似される。領域分割のサブドメインは重複する直方体で、その境界にCartesianPMLが設定される。サブドメインの重複領域とPMLの幅は波数に依存しない。
並列法(加法的)と逐次法(乗法的)の両方について、幾何光学線の挙動に依存する回数の反復後に誤差が滑らかで任意の負の累乗のオーダーに小さくなることを示した。並列法の場合、必要な反復回数は幾何光学線が交差するサブドメインの最大数以下である。これらの結果は数値実験によって示されており、ヘルムホルツ方程式に対する重複領域分割法の収束性に関する初めての波数依存的な結果である。また、非自明な散乱体(変数波速)を持つヘルムホルツ方程式に対する領域分割法の収束性に関する初めての波数依存的な結果でもある。
統計
幾何光学線の挙動に依存する回数の反復後に誤差が滑らかで任意の負の累乗のオーダーに小さくなる
並列法の場合、必要な反復回数は幾何光学線が交差するサブドメインの最大数以下
引用
"After a specified number of iterations – depending on the behaviour of the geometric-optic rays – the error is smooth and smaller than any negative power of the wavenumber."
"For the parallel method, the specified number of iterations is less than the maximum number of subdomains, counted with their multiplicity, that a geometric-optic ray can intersect."