核心概念
有界入力有界出力関数は、線形部分と正規直交写像部分からなる表現で表すことができる。この表現は線形関数のSVD分解の一般化となる。
要約
本論文では、任意の有界入力有界出力関数f : Rn → Rpを、以下のように表現することを示した:
f(x) = UΣv(x)
ここで、Uは直交行列、Σは非負の対角行列、vはRnからRm (m ≥ p + n)への正規直交写像である。
この表現の主な特徴は以下の通り:
線形関数のSVD分解の一般化となっている。
関数fの2誘導ノルムの上界をΣの最大値σ1で与えることができる。
vの性質から、fの零空間や行空間の一般化概念を定義できる。
1変数関数の場合、この表現はRiesz表現定理の一般化となる。
このように、本論文の結果は有界入力有界出力関数の解析に有用な新しい表現を提供するものである。特に、線形解析手法をこれらの非線形関数に適用できるようになる点が重要である。
統計
∥f∥2−2 < σ1
ここで、σ1はΣの最大値であり、関数fの2誘導ノルムの上界を与える。