核心概念
本論文は、確率偏微分方程式で制約された最適制御問題を効率的に解くための新しい組合せ手法を提案する。この手法は、空間離散化と確率変数の数値積分を組み合わせることで、高精度の解を低コストで得ることができる。
要約
本論文は、確率偏微分方程式で制約された最適制御問題を効率的に解くための新しい組合せ手法を提案している。
まず、最適制御問題の定式化を行い、その離散化について説明する。次に、組合せ手法の概要を示す。この手法は、空間離散化と確率変数の数値積分を組み合わせることで、高精度の解を低コストで得ることができる。
具体的には、空間離散化レベルを表す多重指標αと、確率変数の数値積分レベルを表す多重指標βを導入する。これらの多重指標を組み合わせて、様々な組み合わせの離散化問題を解き、その結果を線形結合することで最終的な近似解を得る。
この組合せ手法では、高次の空間離散化と確率変数の高次の数値積分を同時に行うことを避けることができる。そのため、空間離散化と確率変数の数値積分を独立に制御でき、計算コストを大幅に削減できる。
また、理論的な複雑度解析を行い、この手法の漸近的な複雑度は空間ソルバーの複雑度に依存することを示している。数値実験により、提案手法の有効性が確認されている。
統計
空間離散化レベルを表す多重指標αは指数関数的に空間メッシュサイズhに依存する: hn,αn = h02^(-αn)
確率変数の数値積分レベルを表す多重指標βは線形に積分点数mに依存する: m(βn) = βn
引用
"本論文は、確率偏微分方程式で制約された最適制御問題を効率的に解くための新しい組合せ手法を提案する。"
"この手法は、空間離散化と確率変数の数値積分を組み合わせることで、高精度の解を低コストで得ることができる。"
"理論的な複雑度解析を行い、この手法の漸近的な複雑度は空間ソルバーの複雑度に依存することを示している。"