インサイト - 機器學習 - # Riemannian多項式羅吉斯回歸

延伸多項式羅吉斯回歸至一般幾何

Q: 如何將RMLR框架應用於其他流形,如超球面、雙曲流形等?

RMLR框架的設計具有廣泛的適用性，因為它僅依賴於流形的Riemannian對數映射的明確表達。這一特性使得RMLR可以輕鬆擴展到其他流形，如超球面和雙曲流形。對於超球面，RMLR可以利用其特有的Riemannian度量和對數映射來計算類別的概率。具體而言，可以通過定義超球面上的Riemannian度量，然後使用Riemannian對數映射來獲取點到超球面上其他點的距離，從而計算邊際距離並進行分類。 在雙曲流形中，RMLR同樣可以利用雙曲幾何的特性，通過適當的Riemannian度量和對數映射來進行擴展。由於雙曲流形的幾何特性與歐幾里得空間有顯著不同，因此在設計RMLR時需要考慮雙曲流形的特定性質，例如其負曲率特性和相應的距離計算方法。這樣的擴展不僅能夠保持RMLR的有效性，還能充分利用這些流形在特定應用中的優勢。

Q: 現有的RMLR方法是否可以進一步優化,例如通過自適應度量或更高效的優化算法?

現有的RMLR方法確實有潛力進一步優化。首先，自適應度量的引入可以顯著提高RMLR的性能。通過根據數據的分佈動態調整Riemannian度量，模型可以更好地捕捉數據的幾何特性，從而提高分類的準確性。例如，可以考慮使用基於數據的自適應度量學習方法，這樣可以在訓練過程中自動調整度量，從而使模型更具靈活性和適應性。 此外，採用更高效的優化算法也是一個重要的研究方向。傳統的優化算法在流形上進行優化時可能面臨挑戰，特別是在高維空間中。可以考慮使用基於Riemannian梯度下降的自適應優化算法，這些算法能夠更有效地處理流形上的優化問題，並提高收斂速度。此外，結合深度學習中的先進技術，如自適應學習率和動量方法，將有助於進一步提升RMLR的性能。

Q: RMLR在哪些其他機器學習任務中可能發揮作用,如生物信息學、量子計算等?

RMLR的應用潛力廣泛，尤其在生物信息學和量子計算等領域。首先，在生物信息學中，RMLR可以用於分析基因表達數據或蛋白質結構數據，這些數據通常具有複雜的幾何結構。通過將RMLR應用於這些流形數據，可以更準確地進行分類和預測，從而提高疾病診斷和藥物發現的效率。 在量子計算領域，RMLR可以用於量子態的分類和識別。量子態通常可以表示為在複數流形上的點，RMLR能夠利用其對數映射和Riemannian度量來進行有效的量子態分類。此外，RMLR還可以應用於量子機器學習中的量子特徵學習，幫助開發更高效的量子算法。 總之，RMLR的靈活性和廣泛的適用性使其在多個機器學習任務中具有潛在的應用價值，特別是在處理具有複雜幾何結構的數據時。

核心概念

本文提出一個在一般幾何上設計Riemannian多項式羅吉斯回歸(RMLR)的框架,只需要最小的幾何性質,從而展現廣泛的適用性。在對稱正定(SPD)流形上,我們系統地提出五個家族的SPD MLR,並在SO(n)上提出Lie MLR。大量實驗驗證了我們框架的有效性。

要約

本文提出了一個通用的Riemannian多項式羅吉斯回歸(RMLR)框架,只需要最小的幾何性質,如Riemannian對數映射,就可以將Euclidean MLR推廣到流形上。這相比之前的方法,如依賴特定幾何性質的gyro MLR和平面MLR,具有更廣泛的適用性。

在對稱正定(SPD)流形上,作者系統地提出了五個家族的SPD MLR,涵蓋了之前的gyro SPD MLR和平面SPD MLR作為特例。這些SPD MLR基於不同的Riemannian度量,如仿射不變度量(AIM)、對數歐氏度量(LEM)、功率歐氏度量(PEM)、對數Cholesky度量(LCM)和Bures-Wasserstein度量(BWM)。作者還提出了Lie MLR,用於分類SO(n)上的旋轉矩陣,這是第一次將Euclidean MLR推廣到Lie群。

大量實驗表明,在SPD神經網絡和Lie神經網絡上,我們的RMLR一致優於非內在的LogEig MLR。特別是,我們的SPD MLR在人體動作識別任務上的性能提升可達14.23%,在EEG分類任務上提升4.46%。此外,我們的Lie MLR還可以提高訓練的穩定性。

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統計

在SPDNet的人體動作識別任務上,我們的SPD MLR在2-Block和5-Block配置下的準確率分別提高了3.74%和2.4%。
在TSMNet的EEG分類任務上,我們的SPD MLR在inter-session和inter-subject實驗中的平衡準確率分別提高了2.6%和4.46%。
在RResNet的人體動作識別任務上,我們的SPD MLR在HDM05和NTU60數據集上的準確率分別提高了13.72%和8.41%。

引用

"我們的SPD MLR在人體動作識別任務上的性能提升可達14.23%,在EEG分類任務上提升4.46%。"
"我們的Lie MLR還可以提高訓練的穩定性。"

抽出されたキーインサイト

RMLR: Extending Multinomial Logistic Regression into General Geometries

by Ziheng Chen,... 場所 arxiv.org 10-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2409.19433.pdf

RMLR: Extending Multinomial Logistic Regression into General Geometries

深掘り質問

如何將RMLR框架應用於其他流形,如超球面、雙曲流形等?

RMLR框架的設計具有廣泛的適用性，因為它僅依賴於流形的Riemannian對數映射的明確表達。這一特性使得RMLR可以輕鬆擴展到其他流形，如超球面和雙曲流形。對於超球面，RMLR可以利用其特有的Riemannian度量和對數映射來計算類別的概率。具體而言，可以通過定義超球面上的Riemannian度量，然後使用Riemannian對數映射來獲取點到超球面上其他點的距離，從而計算邊際距離並進行分類。
在雙曲流形中，RMLR同樣可以利用雙曲幾何的特性，通過適當的Riemannian度量和對數映射來進行擴展。由於雙曲流形的幾何特性與歐幾里得空間有顯著不同，因此在設計RMLR時需要考慮雙曲流形的特定性質，例如其負曲率特性和相應的距離計算方法。這樣的擴展不僅能夠保持RMLR的有效性，還能充分利用這些流形在特定應用中的優勢。

現有的RMLR方法是否可以進一步優化,例如通過自適應度量或更高效的優化算法?

現有的RMLR方法確實有潛力進一步優化。首先，自適應度量的引入可以顯著提高RMLR的性能。通過根據數據的分佈動態調整Riemannian度量，模型可以更好地捕捉數據的幾何特性，從而提高分類的準確性。例如，可以考慮使用基於數據的自適應度量學習方法，這樣可以在訓練過程中自動調整度量，從而使模型更具靈活性和適應性。
此外，採用更高效的優化算法也是一個重要的研究方向。傳統的優化算法在流形上進行優化時可能面臨挑戰，特別是在高維空間中。可以考慮使用基於Riemannian梯度下降的自適應優化算法，這些算法能夠更有效地處理流形上的優化問題，並提高收斂速度。此外，結合深度學習中的先進技術，如自適應學習率和動量方法，將有助於進一步提升RMLR的性能。

RMLR在哪些其他機器學習任務中可能發揮作用,如生物信息學、量子計算等?

RMLR的應用潛力廣泛，尤其在生物信息學和量子計算等領域。首先，在生物信息學中，RMLR可以用於分析基因表達數據或蛋白質結構數據，這些數據通常具有複雜的幾何結構。通過將RMLR應用於這些流形數據，可以更準確地進行分類和預測，從而提高疾病診斷和藥物發現的效率。
在量子計算領域，RMLR可以用於量子態的分類和識別。量子態通常可以表示為在複數流形上的點，RMLR能夠利用其對數映射和Riemannian度量來進行有效的量子態分類。此外，RMLR還可以應用於量子機器學習中的量子特徵學習，幫助開發更高效的量子算法。
總之，RMLR的靈活性和廣泛的適用性使其在多個機器學習任務中具有潛在的應用價值，特別是在處理具有複雜幾何結構的數據時。