法則はどのように未来を生成するのか：古典力学と電磁気学における時間進化パラダイム

核心概念

自然法則は、初期状態から後の状態を生成するという見解は、時間進化パラダイムと両立可能な時空間的に局所的な動的法則を必要とする。本稿では、古典力学と電磁気学を分析し、このパラダイムを満たす法則の定式化を探求する。

要約

自然法則による未来の生成：時間進化パラダイムへの適合

本稿は、自然法則が初期状態から後の状態を生成するという動的生成の見解を、古典力学と電磁気学を例に考察する論文である。

著者は、物理法則が時間の経過とともにシステムの進化を支配し、後の状態を生成するという見解を紹介する。そして、この動的生成の概念を、ニュートン重力と電磁気学という、動的生成解釈に特に適合するように思われる二つの物理学分野に適用する際に生じる技術的な課題を検証する。
動的生成の見解は、二つの代替的な見解と対比される。一つ目はヒューム的な最良システムの説明であり、法則は自然界で起こることを実際に支配するのではなく、宇宙全体の履歴（完全な過去と未来を含む）の簡潔で有益な記述を提供するに過ぎないとするものである。二つ目は、法則は動的生成なしに、宇宙の可能な履歴に制約を課すことによって支配するという、チェン＆ゴールドスタイン（2022）、アダム（2022a）、ミーチャム（2022、近刊）によって提唱された代替案である。
本稿では、動的生成を展開し、二つの重大な課題から擁護することに焦点が当てられる。第一に、法則がどのように未来を生成するのかという疑問である。第二に、その生成が特殊相対性理論と両立するかどうかという懸念である。

ニュートンの物理学では、法則は決定論的である。これは、法則がある特定の瞬間における状態のみを与えられた場合に、単一の未来のみを許容すると言い換えることができる。しかし、ここで注意が必要なのは、どのようにある瞬間における物理的状態を特定するかである。
アルバート（2000、9-10ページ）は、そのような特定のための二つの要件を提示している。第一に、瞬間的な状態はその瞬間だけの特徴を記述する必要がある。第二に、すべての時間にわたる瞬間的な状態の完全なセットは、起こるすべてを完全に特定する必要がある。
速度は位置の変化率であり、ある瞬間における速度は、問題の瞬間の前後の（任意に小さい）時間的近傍を考慮することによってのみ決定できるため、厳密に言えば、その瞬間だけの特性ではない。
速度を除外しても、二番目の要件に問題はない。なぜなら、すべての時間における位置が特定されれば、任意の時間における速度を決定できるからである。
アルバートに同意し、速度は瞬間的な状態に含まれないと言うならば、ニュートンの物理学の法則は、ある瞬間における状態のみを与えられた場合に、一意の未来を決定することに失敗するだろう。しかし、法則は、任意に短い時間間隔にわたる世界の状態を与えられれば、一意の未来を与えるだろう。したがって、アルバート（2000、11ページ）（およびアルンツェニウス、2000、195ページ）に従い、ある理論が決定論的であるのは、ある瞬間の過去の任意に小さい時間間隔にわたる世界の状態を指定すること（この間隔中に法則が守られていると仮定する）が、法則によって許容される単一の未来（物理的に可能な単一の未来）を一意に決定する場合のみであるとする。
ある瞬間における速度は、その瞬間の未来を決定するものの一部となり得る。ただし、関連する速度が過去の速度⃗v pであると理解する必要がある。過去の速度⃗v pは、問題の瞬間の過去の任意に小さい時間間隔を考慮することによって定義される過去の微分であり、ランゲ（2005、セクション2）のように、
⃗v p(t) = (d/dt)p⃗x(t) = lim δ→0 [⃗x(t) −⃗x(t −δ)]/δ
と表される。この速度は図1に示されている。対照的に、未来の速度は、問題の瞬間の未来の任意に小さい時間間隔を考慮することによって定義される。通常の状況では、過去と未来の速度は一致する。しかし、空間と時間を通る物体の軌跡にねじれがあれば、原則として、過去と未来の速度は異なる可能性がある。過去と未来の速度が異なることが許されるかどうかは、当該理論の法則に依存する。
Easwaran（2014）の提案を修正すると、法則に現れる加速度は、過去の速度の未来の微分である未来の加速度⃗a pfとして定義できる。
⃗a pf(t) = (d/dt)f⃗v p(t) = lim ϵ→0 [⃗v p(t + ϵ) −⃗v p(t)]/ϵ
したがって、ニュートンの第二法則では、物体の加速度は、現在の力の未来の効果として理解できる。⃗F = m⃗a pfである。この加速度は図2に示されている。
時間的距離における作用を避けるために、Easwaran（2014、857ページ）は、「基本的な因果関係[動的な]法則は、現在の特性と過去の近傍特性を使用して、未来の近傍特性を決定する必要がある」と推測している。この考え方は広く採用されてはいないが、法則の動的生成の説明とよく一致する魅力的な提案である。ここで、この考え方の修正版を採用し、法則が時間的に局所的な動的法則としてカウントされるのは、過去から未来への近傍特性を出力として与え、入力として現在の特性または過去の近傍特性のみを受け取る場合のみであるとする。時間的に局所的でない動的法則は、電磁気学の遅延作用とホイーラー・ファインマンのバージョンに見られるように、以前または後の時間の特性を入力として受け取る可能性がある。時間的に局所的な動的法則は、入力として現在の特性のみを受け取るか（シュレーディンガー方程式のように）、現在の特性と過去の近傍特性の両方を受け取る（ニュートンの第二法則のように）かのいずれかである。
ここまで準備を進めた上で、一連の法則が時間進化パラダイムに適合するのは、以下の3つの条件が満たされる場合のみであるとする。

時間的に局所的な動的法則：法則のサブセット（動的法則）は、任意の瞬間tに適用でき、入力として現在の特性または過去の近傍特性のみを受け取り、出力として過去から未来への近傍特性のみを与える。動的法則は、過去から未来への近傍特性の正確な値、またはそのような値に対する確率分布のいずれかを与えることができる。
非動的法則：上記の動的な形式をとらない法則（非動的法則）は、すべての瞬間tにおいて成り立つ、現在の特性または過去の近傍特性間の関係を表す。
決定論的または確率論的：ある瞬間の過去の任意に小さい時間間隔にわたる法則に従った履歴が固定されると、法則は単一の未来の状態シーケンスを一意に固定するか、法則は未来の状態シーケンスに対する正確な確率分布をもたらす。

この定式化では、動的法則に加えて非動的法則も許容される。非動的法則の候補例として、Maudlin（2007、13ページ）はニュートンの万有引力の法則を挙げている。この法則は、現在の位置と質量を使用して、ある物体にかかる現在の力を特定する。Maudlinはこの法則を、「随伴原理」と表現しており、動的法則⃗F = m⃗aが未来の時間発展を予測することを可能にする原理であると説明している。Chen＆Goldstein（2022、60ページ）は、ガウスの法則⃗∇·⃗E = 4πρの例を検討している。これは、電場の現在の発散と電荷の現在の分布を関連付ける非動的法則と見なすことができる。2番目の条件で、非動的法則が「現在の特性または過去の近傍特性間の関係を表す」という要件は、初期条件に対する確率分布を仮定するもの（Chen＆Goldstein、2022、セクション3.3.3）など、特定の推定上の非動的法則を除外する。法則が決定論的または確率論的であるという3番目の条件は、未来について不完全な物語を与える法則、つまり未来を一意に決定することも、異なる未来に対する明確な確率を与えることもない法則を除外することを目的としている。
このような不完全な理論の例として、ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルが電磁場を表す適切な方法と見なされ、ゲージ固定条件が課されない電磁気学のバージョンを考えてみよう。すると、ポテンシャルの複数の未来の進化が過去と両立するようになる（Maudlin、2018、14ページ）。
法則の動的生成の説明は、自然法則が上記の時間進化パラダイムに適合することを要求しているように思われる。まず、時間進化パラダイムの最初の条件から始めよう。この条件に現れる時間的に局所的な動的法則は、Maudlin（2007）が時間発展の基本法則（FLOTE）と呼ぶものとして機能する。時間発展を生み出し、初期状態から後の状態を生成するのは、これらの法則である。Maudlinが述べているように、
「宇宙はある特定の初期状態で始まった。時間発展の法則は、決定論的であろうと確率論的であろうと、その初期状態から作用して、後の状態を生成または生成する。」（Maudlin、2007、174ページ）
この引用や他の箇所では、初期状態という考え方がMaudlinの説明においてどれほど中心的なものであるかは不明である。いずれにせよ、ここで議論されている動的生成の説明の輪郭は、Maudlinのものと完全に一致する必要はない。最初の瞬間があったという仮定を説明に組み込まないようにしよう。最初の瞬間があったかもしれないし、なかったかもしれない。Chen＆Goldstein（2022、61ページ）は、最初の瞬間の仮定を批判している。なぜなら、それは時間的な境界のない時空間を除外してしまうからである。彼らは、それが「生産的な企業全体の始まりとなる」ため、動的生成の説明の重要な部分であるように思われると述べているが、どれほど時間を遡っても、生産は常に起こっていたという考え方に問題はないように思われる。最初の瞬間があったとしても、（彼らが言うように）最初の瞬間が生産的な企業の始まりであると言うのは正しくないかもしれない。2階の動的法則（ニュートンの第二法則のように）の場合、法則が時間発展を生み出すためには、ある瞬間の前に任意に薄い時間スライスが必要になる（速度やその他の変化率が必要だからである）。そのような法則の場合、最初の瞬間の後の任意の瞬間は、法則によって進化する以前の任意に薄い時間スライスによって生成されたと説明できるが、最初の瞬間だけでは進化を始めるには不十分であろう。
Chen＆Goldstein（2022、46＆60ページ）は、動的生成の考え方に挑戦している。なぜなら、ある瞬間における宇宙の状態には、法則によって状態を進化させるために必要な速度や運動量などの特徴が含まれていないからである。しかし、速度と運動量は過去の近傍特性として定式化することができ、そのような特性は、現在とその過去の近傍を未来に結びつける時間的に局所的な動的法則への入力として機能する可能性がある。時間進化パラダイムにおける動的法則が過去と未来を結びつける方法は、ある宇宙の状態が法則によって次の状態を生成するという主張を裏付けるために、「時間が連続している場合、『次の』状態は存在しない」というレーバー（2012、133ページ）の指摘にも対処するのに役立つ。法則は、出力として、次の瞬間における状態ではなく、物事が未来にどのように変化するかを指定する一連の過去から未来への近傍特性を与える。
動的生成の説明は、過去と未来の間の基本的な非対称性（時間

抽出されたキーインサイト

How do Laws Produce the Future?

by Charles T. S... 場所 arxiv.org 10-14-2024

https://arxiv.org/pdf/2407.00210.pdf

深掘り質問

時間進化パラダイムに適合しない法則を持つ物理理論は、どのように解釈されるべきか？

時間進化パラダイムに適合しない法則を持つ物理理論は、時間発展による世界の生成という描像とは異なる解釈を必要とします。このような理論は、世界の歴史全体を時間的に非局所的な制約のネットワークとして捉えることを示唆している可能性があります。
例えば、以下のような解釈が考えられます。

全体論的な法則: 時間進化パラダイムに適合しない法則は、宇宙の始まりから終わりまでの状態を規定する全体論的な法則として解釈できるかもしれません。これらの法則は、特定の瞬間における状態から次の瞬間の状態を生成するのではなく、時空全体にわたる状態の相関関係を規定します。
制約に基づく法則: このような法則は、可能な宇宙の歴史に課せられた制約として解釈することもできます。この見解では、法則は時間発展を「駆動する」のではなく、許容される物理的に可能な歴史を制限します。例えば、Adlamの提案する「力学的モダリティ」の概念は、時間発展の概念を用いずに法則が可能な歴史を制限する方法を提供します。
根本的な非決定性: 時間進化パラダイムからの逸脱は、宇宙が根本的なレベルで非決定的であることを示唆している可能性もあります。この場合、法則は確率的なものであり、特定の瞬間における状態から将来の状態を明確に決定することはできません。
これらの解釈は、時間進化パラダイムに適合しない法則を持つ物理理論が、時間と因果関係に関する我々の直感をどのように変えるかを示唆しています。

動的生成の見解は、自由意志や決定論に関する議論にどのような影響を与えるか？

動的生成の見解は、法則が時間発展を生み出すという考え方に基づいているため、自由意志と決定論に関する議論に重要な影響を与えます。

決定論: 動的生成と決定論的物理法則の組み合わせは、宇宙の進化が初期状態によって完全に決定されるという強力な決定論を支持するように思われます。この見解では、自由意志は幻想に過ぎず、私たちの選択や行動は、宇宙の始まりにまで遡る物理的なイベントの連鎖によってすでに決定されています。
非決定性と確率: 一方で、動的生成の見解は、非決定論的な法則や確率的な法則とも両立します。この場合、法則は時間発展をある程度の確率でしか決定しません。この見解は、自由意志のための空間を提供する可能性があります。なぜなら、私たちの選択は、事前に決定された結果ではなく、真の確率的要素を含む可能性があるからです。
しかし、動的生成の見解だけで自由意志の問題が解決されるわけではありません。非決定性があっても、私たちの選択がランダムなイベントによって決定されるのではなく、真の意味で「自由」であるかどうかは、依然として議論の余地があります。
動的生成の見解は、自由意志と決定論に関する議論に新たな視点を提供しますが、この問題に対する最終的な答えを出すには、さらなる哲学的な考察が必要です。

時間進化パラダイムは、生物学的進化や社会文化的進化などの他の複雑なシステムに適用できるか？

時間進化パラダイムは、物理学以外の複雑なシステム、例えば生物学的進化や社会文化的進化にも適用できる可能性があります。ただし、これらのシステムに適用する場合には、いくつかの重要な違いと課題を考慮する必要があります。
生物学的進化:

変異と選択: 生物学的進化は、変異と自然選択という2つの主要なプロセスによって駆動されます。変異はランダムなものであり、時間進化パラダイムにおける決定論的な法則とは異なります。しかし、自然選択は、環境への適応度に基づいて生物の生存と繁殖を差別的に選択するため、時間発展を方向付ける「法則」と見なすことができます。
歴史的偶然性: 生物学的進化は、過去の出来事、例えば大量絶滅や環境の変化に大きく影響されます。これらの歴史的偶然性は、時間進化パラダイムにおける初期状態の概念に類似しており、進化の軌跡に大きな影響を与えます。
社会文化的進化:

人間の主体性: 社会文化的進化は、人間の思考、行動、相互作用によって形作られます。人間の主体性は、物理システムには見られない複雑さのレベルをもたらします。社会文化的進化における「法則」は、人間の行動の傾向やパターンを記述するものであり、物理法則のように絶対的なものではありません。
創発性: 社会文化的システムは、個々の要素の特性からは予測できない創発的な特性を示すことがよくあります。例えば、言語、文化、制度は、個人の相互作用から生まれますが、それ自体が独自のダイナミクスと進化の軌跡を持つ複雑なシステムです。
結論として、時間進化パラダイムは、生物学的進化や社会文化的進化などの複雑なシステムを理解するための有用な枠組みを提供する可能性があります。ただし、これらのシステムに固有の特性、例えば変異、選択、歴史的偶然性、人間の主体性、創発性を考慮することが重要です。これらの要素は、時間発展を形作る上で重要な役割を果たしており、時間進化パラダイムをこれらのシステムに適用する際には、慎重な検討が必要です。