非半単純組み紐付きテンソル圏における単位元の包含と非コンパクト相対TQFT

核心概念

本稿では、組み紐付きテンソル圏における単位元の包含が、コボルディズム仮説の下で相対的な3次元位相的場の量子論を誘導することを示し、特に非半単純なケースでは非コンパクトな相対TQFTが得られることを明らかにします。

要約

論文概要
本論文は、特に非半単純なケースにおける組み紐付きテンソル圏における単位元の包含と非コンパクト相対TQFTの関係について論じたものです。
研究背景
位相的場の量子論（TQFT）は、位相幾何学と場の量子論を結びつける重要な研究分野です。従来のTQFT構築方法では、n次元多様体の不変量を定義し、必要に応じて構造や条件を追加していく方法が主流でした。一方、コボルディズム仮説は、完全に拡張されたTQFTを、高次圏における完全に双対可能な対象物として分類する方法を提供します。この論文は、これらのアプローチを橋渡しすることを目指し、コボルディズム仮説が既存の興味深いTQFTの例を再現できるか、そしてその際にどのような双対可能な対象物が関連するのかを探求しています。
研究内容
本論文では、組み紐付きテンソル圏Vにおける単位元の包含が、高次圏BrTensにおける1-射を誘導することに着目しています。この1-射は、Vが半単純の場合にはコンパクトな相対3次元TQFTを、非半単純の場合には非コンパクトな相対3次元TQFTを、コボルディズム仮説の下で誘導することが示されました。この結果は、Witten-Reshetikhin-Turaev理論やその非半単純版であるDe Renzi-Gainutdinov-Geer-Patureau-Mirand-Runkel理論を、完全に拡張された形で復元できる可能性を示唆しています。
結論と展望
本論文は、組み紐付きテンソル圏における単位元の包含が、相対TQFTの構築に重要な役割を果たすことを明らかにしました。今後の課題として、これらの相対TQFTが実際にWitten-Reshetikhin-Turaev理論やその非半単純版を再現することを証明することが挙げられます。もし証明されれば、コボルディズム仮説を用いたTQFTの構築と理解が大きく進展すると期待されます。

統計

引用

抽出されたキーインサイト

Unit inclusion in a non-semisimple braided tensor category and non-compact relative TQFTs

by Benj... 場所 arxiv.org 10-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2304.12167.pdf

深掘り質問

組み紐付きテンソル圏以外の高次圏においても、同様の相対TQFTの構成は可能でしょうか？

可能です。本稿では組み紐付きテンソル圏とそれらの間の双加群のなす4-圏 $\mathrm{BrTens}$ を舞台に議論を進めていますが、相対TQFTの構成自体はより一般的な高次圏の枠組みで可能です。
Johnson-Freyd と Scheimbauer による論文[JS17]では、対称モノイダルn-圏 $\mathcal{C}$ に対して、$\mathcal{C}$ 内の oplax arrows のなす対称モノイダル n-圏 $\mathcal{C}^{\rightarrow}$ が定義されています。この $\mathcal{C}^{\rightarrow}$ の対象は、$\mathcal{C}$ の対象間の1-射とそれらの間の適切な高次射で構成されます。
相対 $(n-1)$-TQFT は、境界 $(n-1)$-圏から $\mathcal{C}^{\rightarrow}$ への対称モノイダル関手として定義されます。これは、$\mathcal{C}$ に値を取る2つの $(n-1)$-TQFT の間の「相対的な関係」を表現するものです。
したがって、組み紐付きテンソル圏以外の高次圏、例えば、適切な対称モノイダル構造を持つ他の高次圏（例えば、dg 圏や導来圏）などを考える場合でも、同様の方法で相対 TQFT を構成することができます。重要なのは、考える高次圏が適切な対称モノイダル構造と「境界」を表現する適切な対象を持っていることです。

本稿では非コンパクトTQFTを扱っていますが、コンパクトなTQFTと比較して、どのような利点や欠点があるのでしょうか？

非コンパクト TQFT とコンパクト TQFT は、それぞれ異なる対象を記述するために適した枠組みであり、利点と欠点は相対的なものです。
非コンパクト TQFT の利点:

より広範な現象を記述可能: コンパクト TQFT では扱えない、境界を持つ多様体や無限遠で非自明な振る舞いをする系などを記述できます。
表現論との関連: 表現論において重要な役割を果たす圏、例えば無限次元表現を含む圏などを用いて構成される TQFT は、非コンパクトになる場合が多いです。
非コンパクト TQFT の欠点:

数学的取り扱いの難しさ: コンパクト TQFT に比べて、数学的な定義や構成が複雑になる場合が多いです。
物理的な解釈の難しさ: コンパクト TQFT に比べて、対応する物理的な系や現象との対応関係が明らかでない場合が多いです。
コンパクト TQFT の利点:

数学的取り扱いの容易さ: 非コンパクト TQFT に比べて、数学的な定義や構成が簡明になる場合が多いです。
物理的な解釈の容易さ: 対応する物理的な系や現象との対応関係が比較的明瞭である場合が多いです。
コンパクト TQFT の欠点:

記述できる現象が限定的: 境界を持つ多様体や無限遠で非自明な振る舞いをする系などを記述できません。
要約すると、非コンパクト TQFT はより広範な現象を記述できる柔軟性を備えている一方、数学的・物理的な解釈が難しいという側面があります。一方、コンパクト TQFT は数学的・物理的な解釈が容易である一方、記述できる現象が限定的です。どちらの TQFT が適しているかは、対象とする問題意識や目的に依存します。

コボルディズム仮説を用いずに、本稿で得られた結果を証明することはできるでしょうか？もし可能であれば、どのようなアプローチが考えられるでしょうか？

コボルディズム仮説を用いずに本稿の結果を証明することは、非常に困難だと考えられます。コボルディズム仮説は、高次圏の対象の双対可能性データから TQFT を構成するための強力なツールであり、本稿の結果はそのような構成の具体的な例となっています。
コボルディズム仮説を用いない場合、直接 TQFT を構成し、それが目的の性質を持つことを証明する必要があります。これは、高次圏の構造や双対性の概念を直接扱う必要があり、非常に複雑な計算と議論を伴うことが予想されます。
具体的には、以下のようなアプローチが考えられます。

TQFT の構成:

対象となる境界 $(n-1)$-圏 Bord$_{n-1}$ から目標となる高次圏（本稿の場合は $\mathrm{BrTens}^{\rightarrow}$）への関手を、各対象と射に対して具体的に構成する必要があります。
この際、関手が対称モノイダル関手であること、つまりテンソル積と単位対象を保つことを証明する必要があります。

双対性条件の確認:

構成した TQFT が、目的の双対性条件（本稿の場合は 3-oplax 双対可能性）を満たすことを直接証明する必要があります。
これには、高次圏における随伴関手や双対対象の定義を直接用いた複雑な計算が必要となります。

これらのアプローチは、コボルディズム仮説を用いる場合に比べて、はるかに複雑で困難なものとなります。コボルディズム仮説は、TQFT の構成と双対性条件の確認を同時に行うことができる強力なツールであり、本稿のような結果を得るためには不可欠なものです。