核心概念
加法冪等半環上の線形方程式系の解は完全に特徴付けられる。特に一般化トロピカル半環の場合、その解の完全な特徴付けと計算コストの明示的な上界が得られる。
要約
本論文では、加法冪等半環上の線形方程式系XA = Yの解について研究している。
まず、加法冪等半環の基本的な性質を示し、その上での線形方程式系の解の最大解を完全に特徴付けている。
次に、一般化トロピカル半環の場合について詳しく検討している。この場合、線形方程式系の解の完全な特徴付けと、その計算コストの明示的な上界を与えている。具体的には、解の構造を明らかにし、それに基づいたアルゴリズムを提案している。このアルゴリズムの計算量はO(nm)である。
最後に、有限の加法冪等半環の場合について考察し、解の存在と最大解の構造を示している。さらに、この結果を用いて、鍵交換プロトコルに対する攻撃手法を提案している。
統計
線形方程式系XA = Yにおいて、Aの要素aij、Yの要素yj、未知ベクトルXの要素xiは全て加法冪等半環Rの元である。
一般化トロピカル半環Rにおいて、(R, ·)が群であれば、線形方程式系XA = Yは必ず解を持つ。
有限の加法冪等半環Rの場合、線形方程式系XA = Yは必ず解を持ち、その最大解は明示的に構成できる。
引用
加法冪等半環上の線形方程式系の解は完全に特徴付けられる。
一般化トロピカル半環上の線形方程式系の解の計算コストはO(nm)である。
有限の加法冪等半環上の線形方程式系は必ず解を持ち、その最大解は明示的に構成できる。