文脈、判断、演繹：依存型理論と自然演繹における圏論的分析

核心概念

本稿では、依存型理論と自然演繹を包含する統一的な枠組みとして、判断論理とその計算体系を圏論を用いて提示する。

要約

本稿は、文脈、判断、演繹という論理学における基本的な概念を、依存型理論と自然演繹という異なる視点から統一的に扱うことを目的としている。そのために、圏論を用いて「判断論理」と呼ばれる新しい枠組みを導入する。

まず、判断論理の構文として、文脈、判断、規則、ポリシーを定義する。文脈は対象の集まり、判断は文脈における対象の性質を記述するものであり、規則は判断から判断への変換を、ポリシーは規則の適用条件を規定する。

次に、判断論理の計算体系を定義し、依存型理論と自然演繹の計算体系が、この枠組みの中でどのように表現されるかを具体的に示す。依存型理論においては、型とその項の関係が、自然演繹においては、論理式間の entailment の関係が、判断論理の計算体系によって自然に表現される。

本稿の貢献は、依存型理論と自然演繹を統一的に扱える枠組みを提供しただけでなく、従来の枠組みでは明確に定義されていなかった「外延的な型構成子」の定義を与えたこと、証明論における構造規則の分析を深めたこと、証明が計算的に意味を持つ形で表現されていることなどが挙げられる。

本稿は、依存型理論、自然演繹、圏論的論理に興味を持つ研究者にとって重要な示唆を与えるものである。

統計

引用

"Everything that can be thought at all can be thought clearly. Everything that can be said can be said clearly." [Wit22, 4.116]

抽出されたキーインサイト

Context, Judgement, Deduction

by Greta Coragl... 場所 arxiv.org 11-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2111.09438.pdf

深掘り質問

判断論理の枠組みは、依存型理論や自然演繹以外の論理体系にも適用できるのか？例えば、様相論理や線形論理などをどのように表現できるのか？

はい、判断論理の枠組みは依存型理論や自然演繹以外にも、様相論理や線形論理など、様々な論理体系を表現できます。
様相論理
様相論理を表現する場合、可能な世界（possible world）を表す新たな判断分類子（judgement classifier）を導入します。様相演算子（modal operator）は、この可能な世界に関する量化として表現できます。例えば、「必然的にφ」は「あらゆる可能な世界wにおいてφ」と解釈できます。この解釈に基づき、様相演算子に対応する規則を、可能な世界に関する判断と通常の判断を結びつける形で定義できます。
具体的には、以下のように表現できます。

可能な世界の導入: 新しい可能な世界を表す変数を導入する規則を追加します。
様相演算子の導入と除去: 各様相演算子に対応する規則を、可能な世界に関する判断と通常の判断を結びつける形で定義します。例えば、「必然性」を表す演算子□の導入規則は、現在の文脈で証明可能な判断から、任意の可能な世界で成立する判断を導出します。逆に、除去規則は、任意の可能な世界で成立する判断から、現在の文脈での判断を導出します。
線形論理
線形論理は、命題（あるいは資源）の「消費」の概念を導入した論理体系です。判断論理の枠組みでは、この「消費」の概念を、文脈における資源の管理として表現できます。
具体的には、以下のように表現できます。

線形文脈: 通常の文脈に加えて、「線形文脈」を導入します。線形文脈は、資源の有限性を表現するために、各資源を高々一回しか含むことができません。
線形含意: 線形含意（linear implication）を表す規則は、線形文脈における資源の消費と生成を反映するように定義されます。例えば、A⊸B の導入規則は、線形文脈Γ, AからBが導出できる場合に、ΓからA⊸Bを導出します。この時、Aは線形文脈から「消費」されます。
利点
判断論理の枠組みを用いることで、様々な論理体系を統一的な視点から分析できます。特に、規則の定義や証明の構成を、圏論という抽象的なレベルで行えるため、異なる論理体系間の類似点や相違点を明確化できます。

依存型理論と自然演繹の計算体系を統一的に扱うことの利点は何か？それぞれの体系における問題や証明を、もう一方の体系で表現することで、新たな知見が得られる可能性はあるのか？

依存型理論と自然演繹の計算体系を統一的に扱うことには、以下のような利点があります。

表現力と証明能力の比較: 統一的な枠組みのもとで比較することで、それぞれの体系の表現力や証明能力の差異を明確化できます。例えば、依存型理論における依存型の表現力は、自然演繹における論理式の表現力とどのように対応するのか、あるいは、自然演繹におけるカット除去定理は、依存型理論ではどのように解釈できるのか、といった問いに答えることができます。
新たな証明体系の開発: それぞれの体系の利点を組み合わせた、より強力な証明体系を開発できる可能性があります。例えば、依存型理論の強力な表現力を持ちつつ、自然演繹のような簡潔な証明体系を設計できるかもしれません。
既存の技術の応用: それぞれの体系で開発された技術やツールを、もう一方の体系に応用できる可能性があります。例えば、依存型理論における型検査アルゴリズムを、自然演繹における証明検証に応用できるかもしれません。
新たな知見が得られる可能性としては、以下のような点が考えられます。

自然演繹における証明の計算内容の分析: 依存型理論の計算体系を用いることで、自然演繹における証明が、具体的にどのような計算を表しているのかを分析できる可能性があります。
依存型理論における証明の構成の簡略化: 自然演繹の証明体系の構造を参考に、依存型理論における証明の構成をより簡潔にできる可能性があります。

判断論理の枠組みは、計算機科学の他の分野、例えばプログラミング言語の設計や検証などにどのように応用できるのか？

判断論理の枠組みは、プログラミング言語の設計や検証など、計算機科学の様々な分野に応用できます。
プログラミング言語の設計

型システムの設計: 依存型理論は、プログラミング言語の型システムの設計に利用されています。判断論理の枠組みを用いることで、より複雑で表現力の高い型システムを、より厳密に設計できる可能性があります。
効果システムの設計: 様相論理は、プログラムの副作用（effect）を表現する効果システムの設計に利用されています。判断論理の枠組みを用いることで、様々な効果システムを統一的に表現し、比較検討できます。
プログラミング言語の検証

プログラムの正当性の証明: 判断論理の枠組みを用いることで、プログラムの正当性を、より抽象的なレベルで証明できます。これは、特に大規模で複雑なプログラムの検証において有効です。
型システムの健全性の証明: 判断論理の枠組みを用いることで、設計した型システムが、プログラムの実行時エラーを防ぐという点で「健全」であることを証明できます。
その他

論理プログラミング: 判断論理の枠組みは、論理プログラミング言語の設計や意味論の研究にも応用できます。
定理証明器の開発: 判断論理の枠組みは、定理証明器の開発にも利用できます。特に、様々な論理体系を統一的に扱えるという点は、汎用性の高い定理証明器の開発に役立ちます。
判断論理の枠組みは、計算機科学の基礎理論と応用分野の橋渡しをする強力なツールとなりえます。