核心概念
이 논문에서는 유한 시간 제어 Gramian의 Cholesky 인자를 효율적으로 계산하는 수치 방법을 제안합니다. 이 방법은 중간 크기의 밀집 행렬에 적용 가능하며, 전체 행렬을 계산하지 않고도 Gramian의 Cholesky 인자를 생성합니다.
要約
이 논문은 행렬 지수함수와 관련된 유한 시간 Gramian의 효율적인 수치 계산 방법을 제안합니다.
주요 내용은 다음과 같습니다:
- 행렬 지수함수와 Gramian에 대한 이중 공식을 도출하여, 계산 비용을 최소화합니다.
- 쉬프트된 르장드르 기저에서의 Petrov-Galerkin 방법을 사용하여 초기 근사치를 구합니다.
- 행렬 지수함수와 Gramian의 Cholesky 인자에 대한 엄밀한 역오차 분석을 제공합니다. 이를 통해 이중 정밀도 수준의 정확도를 보장합니다.
- 다양한 표준 테스트 사례에서 제안된 방법의 정확성을 입증합니다.
- 이 방법은 Julia 패키지 FiniteHorizonGramians.jl로 구현되어 공개되었습니다.
統計
행렬 지수함수 Φ(A)는 eA로 정의됩니다.
유한 시간 제어 Gramian G(A, B)는 다음 Lyapunov 미분 방정식의 해로 정의됩니다:
˙Q(t) = AQ(t) + Q(t)A* + BB*, Q(0) = 0, t ∈ [0, 1]
G(A, B)는 항상 양반한정이며, 쌍 (A, B)가 가제어하면 양정부호입니다.
引用
"이 논문에서는 행렬 지수함수 Φ(A)와 Gramian G(A, B)의 Cholesky 인자 U(A, B)를 중간 단계를 거치지 않고 직접 계산하는 수치 알고리즘을 개발하고자 합니다."
"제안된 알고리즘과 이를 설계한 분석은 Julia 프로그래밍 언어로 구현되었으며, FiniteHorizonGramians.jl 패키지로 공개되었습니다."