密碼學的演進：以數論為基石

核心概念

本文探討密碼學如何從早期簡單的資訊隱藏方法（如字母替換）演變為基於先進數論的現代演算法，突顯密碼學在當今數位時代保護數據方面的重要性。

要約

從古代到現代：密碼學的演變

早期資訊隱藏方法

• 早在公元前 1900 年，美索不達米亞和埃及就出現了加密泥板和象形文字，這是最早的密碼學形式。
• 這些方法主要依靠簡單的替換和移位技術來隱藏資訊。

凱撒密碼

• 一種簡單的替換密碼，將訊息中的每個字母移動固定位數。
• 易受頻率分析攻擊，因為每個字母始終替換為相同的密文字母。

維吉尼亞密碼

• 一種多字母替換密碼，使用金鑰詞對訊息進行多重移位加密。
• 相較於凱撒密碼更安全，因為它可以避免簡單的頻率分析。
• 如果金鑰詞重複出現，則可能受到更進階的攻擊。

現代密碼學與數論

• 隨著資訊時代的來臨，需要更強大的加密方法來保護大量數據。
• 現代密碼學依賴於數論的進階概念，例如模算術、歐幾里得演算法和歐拉函數。

RSA 演算法

• 一種非對稱加密演算法，使用兩個大質數生成公鑰和私鑰。
• 基於質因數分解的難度，即使知道公鑰也很難推导出私鑰。
• 計算量大，速度較慢，特別是處理大型質數時。

密碼學的未來

• 研究人員持續探索新的數學理論和演算法，以增強加密的安全性。
• 未來密碼學的發展將繼續受到數論進步的推動。

統計

公元前 1900 年左右，美索不達米亞和埃及出現了加密泥板和象形文字。
凱撒密碼將訊息中的每個字母移動三位。
英語中最常見的字母是 E。
維吉尼亞密碼使用一個金鑰詞，並根據金鑰詞中的字母對訊息進行多重移位加密。
RSA 演算法使用兩個大質數生成公鑰和私鑰。

引用

「密碼學源自希臘語，大致翻譯為『隱藏的文字』。」
「數論可能是數學中最重要的領域之一，它被應用於電腦科學，並且是所有現代密碼學的基礎。」 - Ghosal (2021)
「RSA 是由 Ron Rivest、Adi Shamir 和 Leonard Adleman 在 1978 年設計的……它是一種基於數論的非對稱（公鑰）密碼系統，是一種分組密碼系統。」 - Kulkarni (2017)

抽出されたキーインサイト

The Evolution of Cryptography through Number Theory

by Fernando Per... 場所 arxiv.org 11-25-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.14451.pdf

深掘り質問

量子計算的進步將如何影響現代密碼學的安全性？

量子計算的進步對現代密碼學的安全性構成了重大威脅。許多廣泛使用的公鑰密碼系統，例如 RSA 和橢圓曲線密碼學 (ECC)，都是基於量子計算機能夠有效解決的數學問題。
具體來說，量子計算機可以執行 Shor 演算法，該演算法可以有效地分解大量整數，而這是 RSA 安全性的基礎。同樣，量子計算機可以執行 Grover 演算法，該演算法可以加速搜索未排序的數據庫，這可能會削弱 ECC 的安全性。
如果建構出大型且容錯的量子計算機，那麼當今保護敏感數據的許多密碼系統將變得不堪一擊。這將對網路安全、金融交易和數據隱私產生重大影響。
然而，量子計算並非沒有限制。開發抗量子密碼學 (PQC) 或後量子密碼學正在進行中，旨在建立即使面對量子計算機攻擊也能保持安全的密碼系統。PQC 探索基於量子計算機難以解決的不同數學問題的新演算法。

是否存在一種無法被破解的密碼系統，或者所有密碼系統最終都容易受到攻擊？

理論上，存在一種無法被破解的密碼系統，稱為一次性密碼本 (OTP)。OTP 使用與訊息長度相同的真正隨機金鑰，並且每個金鑰僅使用一次。由於金鑰是隨機的且從未使用過，因此攻擊者無法獲得有關訊息的任何資訊。
然而，OTP 在實務上存在嚴重的限制：

**金鑰分配：**發送者和接收者必須就相同的金鑰達成一致，並且金鑰的長度必須與訊息一樣長。安全地分配和管理這些金鑰會帶來巨大的後勤挑戰。
**金鑰重複使用：**如果重複使用金鑰，OTP 的安全性將完全失效。
由於這些限制，OTP 通常僅適用於需要極高安全性的特殊情況，例如政府和軍事通訊。
對於其他所有密碼系統，沒有什麼是絕對「無法被破解」的。密碼學的歷史證明了不斷發展的軍備競賽：當攻擊者發現新的漏洞時，密碼學家就會開發新的技術來應對這些威脅。
任何密碼系統的安全性都取決於多個因素，包括：

**演算法的強度：**底層數學演算法必須能夠抵抗已知的攻擊。
**金鑰長度：**更長的密鑰可以提供更高的安全性，因為它們會增加攻擊者嘗試所有可能金鑰組合的難度。
**金鑰管理：**安全地生成、儲存和分配金鑰對於防止未經授權的訪問至關重要。
即使使用最強大的密碼系統，人為錯誤和實作錯誤也可能導致漏洞。因此，除了強大的密碼技術之外，還必須採用全面的安全措施，包括安全意識培訓、嚴格的安全協議和定期的安全審計。

除了保護數據安全之外，密碼學還可以用於哪些其他領域？

除了保護數據安全之外，密碼學還應用於許多其他領域，包括：

**數位簽章：**密碼學允許建立數位簽章，驗證數位文件的真實性和完整性。數位簽章提供了一種驗證發送者身份並確保文件在傳輸過程中未被篡改的方法。
**身份驗證：**密碼學在驗證個人或設備的身份方面發揮著至關重要的作用。密碼技術，例如雜湊函數和數位憑證，用於驗證用戶憑證並控制對系統和數據的訪問。
**電子商務：**密碼學對於安全的電子商務交易至關重要。安全通訊協定，例如 TLS/SSL，使用密碼學來保護敏感資訊，例如信用卡號和個人詳細資訊，使其在網路上傳輸時免遭未經授權的訪問。
**區塊鏈技術：**密碼學是區塊鏈技術的基礎，區塊鏈技術是加密貨幣（例如比特幣）背後的去中心化和安全帳本系統。雜湊函數和數位簽章用於確保區塊鏈的完整性和交易的不可變性。
**電子投票：**密碼學可以促進安全和透明的電子投票系統。基於密碼學的技術可用於保護選票的機密性、確保選票的完整性以及提供可驗證性。
**隱私增強技術：**密碼學是隱私增強技術的基礎，例如零知識證明和同態加密，它們允許在不洩露底層數據的情況下對數據執行計算或驗證資訊。
隨著技術的進步，密碼學在保護資訊、確保信任和實現各個領域的新應用方面將繼續發揮越來越重要的作用。