본 연구 논문은 그래프, 특히 2차원 정사각형 격자와 3차원 입방 격자에서 자유 페르미온 및 상호작용하는 페르미온 모델의 얽힘 엔트로피와 Krylov 복잡성을 분석합니다. 연구 결과, 얽힘 엔트로피는 두 그래프 모두에서 부피 법칙(volume law)을 따르는 반면, Krylov 복잡성은 그래프의 차수(degree)에 따라 확연히 다른 스케일링 거동을 보입니다.
얽힘 엔트로피 분석: 2차원 정사각형 격자와 3차원 입방 격자에서 자유 페르미온 및 상호작용하는 페르미온 모델의 얽힘 엔트로피는 시스템 크기에 선형적으로 비례하는 부피 법칙을 따릅니다. 즉, 얽힘 엔트로피만으로는 두 모델을 구분할 수 없습니다.
Krylov 복잡성 분석: Krylov 복잡성은 연산자 성장을 정량화하는 지표로, 본 연구에서는 자유 페르미온 모델에서 2차원 정사각형 격자의 경우 Krylov 복잡성이 시스템 크기에 선형적으로 비례하는 반면, 3차원 입방 격자의 경우 시스템 크기의 제곱에 비례함을 확인했습니다. 이는 두 모델이 Krylov 복잡성 관점에서 서로 다른 동적 위상에 속함을 의미합니다.
상호작용하는 페르미온 모델 분석: 상호작용하는 페르미온 모델의 경우, 수치적 계산의 한계로 인해 작은 시스템 크기에 대한 Krylov 복잡성만을 계산할 수 있었습니다. 그러나 작은 시스템에서도 Krylov 복잡성은 시스템 크기에 따라 기하급수적으로 증가하는 경향을 보였으며, 3차원 입방 격자가 2차원 정사각형 격자보다 빠른 증가율을 나타냈습니다.
Krylov 차원 분석: Krylov 복잡성의 스케일링 거동을 정량적으로 이해하기 위해 Krylov 차원을 분석했습니다. 자유 페르미온 모델의 경우, Krylov 차원은 Krylov 복잡성과 유사한 스케일링 거동을 보였습니다. 상호작용하는 페르미온 모델의 경우, Krylov 차원의 상한과 하한을 추정하여 스케일링 법칙을 도출했습니다.
실험적 검증 가능성: Krylov 복잡성은 직접 측정하기 어렵지만, OTOC(out-of-time-order correlator)를 통해 간접적으로 측정할 수 있습니다. 본 연구에서는 OTOC를 이용하여 2차원 정사각형 격자와 3차원 입방 격자에서 서로 다른 동적 위상을 구분할 수 있음을 보였습니다.
본 연구는 그래프 구조에 따라 양자 다체 시스템의 동적 특성이 크게 달라질 수 있음을 보여줍니다. 특히, 얽힘 엔트로피만으로는 구분되지 않는 위상을 Krylov 복잡성을 통해 구별할 수 있다는 점을 강조합니다. 이는 양자 다체 시스템의 동적 위상에 대한 이해를 넓히고, 양자 컴퓨팅 및 양자 정보 처리 분야에 응용될 수 있는 새로운 가능성을 제시합니다.
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