この論文は、グラフ理論、特に有向グラフにおける反向き木の埋め込み問題を扱っています。ErdősとSósによって提唱された、高密度グラフにおける特定の大きさの木の埋め込みに関する未解決問題を背景に、本論文では、同様の主張が有向グラフにおいても成り立つ可能性を探っています。
論文の主な結果は、特定の条件を満たす高密度有向グラフには、任意の反向き木が埋め込まれることを示したものです。具体的には、頂点数n、辺数(k-1)n以上の有向グラフDが、特定の3つの小さな有向グラフ(論文中の図1参照)を含まない場合、Dは辺数kの任意の反向き木を含むことが示されています。
証明は、大きく分けて2つの補題に基づいています。第一の補題は、反向き木Tの次数が比較的小さい場合を扱い、第二の補題は、Tの次数が比較的大きい場合を扱っています。どちらの場合も、まず、Dの中に適切な部分グラフD'を見つけ出すことから始めます。D'は、Dの辺密度をある程度維持しつつ、頂点の次数に関する特定の条件を満たすように選ばれます。
論文では、反向き木の特別な場合であるキャタピラーについても考察し、頂点数n、辺数(k-1)n以上の任意の有向グラフは、辺数kの任意の反向きキャタピラーを含むことを示しています。この結果は、Perlesによる、高密度グラフにおけるキャタピラーの埋め込みに関する既存の結果を拡張したものです。
本論文の結果は、ErdősとSósの予想の有向グラフ版に対する進展であり、グラフ理論における重要な貢献と言えるでしょう。
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