핵심 개념
本講義ノートでは、2次元量子重力理論、位相的弦理論、行列模型の基礎となるリーマン面のモジュライ空間について解説する。
초록
リーマン面のモジュライ空間入門
本講義ノートは、2024年夏のレ・ウシュスクール「量子幾何学(重力、ゲージ理論、非摂動物理学のための数学的方法)」で行われた講義シリーズの内容をまとめたものである。
モジュライ空間の再帰的な境界構造とコホモロジー理論
まず、モジュライ空間の再帰的な境界構造と、それに伴うコホモロジー理論に関する基本的な結果を概観する。
ウィッテン予想とその一般化
次に、ウィッテン予想とその一般化について述べ、位相的漸化式を用いたコホモロジー的場の理論の相関関数の再帰的計算として捉え直す。
JT重力と双曲幾何学、位相的弦理論との関連
最後に、JT重力と双曲幾何学、位相的弦理論との関連について議論する。
本講義ノートの構成
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- イントロダクション:2次元量子重力とリーマン面のモジュライ空間の関係、行列模型との関連、弦理論との関連について概説する。
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- リーマン面のモジュライ空間:リーマン面のモジュライ空間の定義、コンパクト化、境界の構造、安定グラフ、タウトロジー写像について解説する。
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- コホモロジー的場の理論:コホモロジー的場の理論の公理、Givental作用、位相的漸化式との関連について解説する。
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- 今後の展望:双曲曲面のモジュライ、弦理論と写像のモジュライについて概説する。
통계
リーマン面のモジュライ空間の複素次元は、3g - 3 + n である(g は種数、n はマークされた点の数)。