非可換交叉理論と単冪Deligne-Milnor公式

핵심 개념

導来代数幾何学と非可換代数幾何学を用いて、Kato-Saitoの局所化交叉積を圏論的に解釈し、Bloch導手予想の単冪な場合を証明する。

초록

非可換交叉理論と単冪Deligne-Milnor公式
この論文は、導来代数幾何学と非可換代数幾何学を用いて、算術スキーム上の交叉理論的現象を理解することに貢献しています。

本研究の主な目的は、Kato-Saitoによって定式化されたBlochの交叉数を圏論的に解釈することです。さらに、この解釈とTo¨en-Vezzosiの非可換チャーン指標を組み合わせることで、単冪Deligne-Milnor公式を含む、Bloch導手予想のいくつかの新しいケースを証明することを目指しています。

導来代数幾何学および非可換代数幾何学の技法を用いて、Kato-Saitoの局所化交叉積の圏論化を構築します。
特異点のdg圏を用いて、交叉数を表現します。
ℓ進実現と非可換チャーン指標を用いて、圏論的な交叉数と古典的な交叉数の関係を調べます。

핵심 통찰 요약

Non-commutative intersection theory and unipotent Deligne-Milnor formula

by Dario Berald... 게시일 arxiv.org 10-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2211.11717.pdf

더 깊은 질문

導来代数幾何学や非可換代数幾何学の他の応用として、どのようなものがあるだろうか？

導来代数幾何学や非可換代数幾何学は、数論、表現論、ミラー対称性など、現代数学の様々な分野に広範な応用を持つ強力なツールです。
数論における応用

モチビック積分とコモチーフガロア群: モチビック積分は、数論的対象の重要な不変量であり、導来代数幾何学を用いて自然に定義されます。また、コモチーフガロア群は、数論的対象のガロア表現を統制する重要な対象であり、導来圏を用いて構成されます。
p進ホッジ理論: p進ホッジ理論は、p進数体上の代数多様体の幾何学を研究する分野であり、導来代数幾何学を用いて定式化されます。
非可換岩澤理論: 岩澤理論は、代数体のイデアル類群の構造を研究する分野であり、非可換環の導来圏を用いて非可換化することができます。
表現論における応用

幾何学的表現論: 導来代数幾何学は、リー群やリー代数の表現を、旗多様体などの代数多様体の幾何学的対象と結びつける幾何学的表現論において重要な役割を果たします。
D-braneと圏論化: 弦理論におけるD-braneは、導来圏の対象として理解されます。この圏論的なアプローチは、D-braneの性質を理解する上で重要な洞察を与えます。
ミラー対称性における応用

Fukaya圏と導来圏: ミラー対称性は、シンプレクティック幾何と複素幾何との間の深い関係を主張する予想であり、導来代数幾何学を用いて定式化されます。特に、シンプレクティック多様体のFukaya圏とミラー双対である複素多様体の導来圏の間の対応が予想されています。
その他

非可換代数幾何学を用いた量子化: 非可換幾何学は、空間の量子化を記述するための自然な枠組みを提供します。
導来ミラー対称性: ミラー対称性の一般化である導来ミラー対称性は、導来代数幾何学を用いて定式化されます。
これらの応用は、導来代数幾何学と非可換代数幾何学が、現代数学においていかに広範かつ重要な役割を果たしているかを示すほんの一例に過ぎません。

慣性群が単冪に作用しない場合、Bloch導手予想はどのように修正されるべきだろうか？

慣性群が単冪に作用しない場合、Bloch導手予想はそのままでは成り立ちません。これは、Swan導手が、慣性群の表現の「非単冪性」を捉える量だからです。
Bloch導手予想を非単冪の場合に拡張するためには、Swan導手を適切に修正する必要があります。この修正は、一般には非常に複雑で、具体的な状況に依存します。
例えば、Kato-Saito [10] は、対数的代数幾何学を用いて、Xs が正規交叉因子である場合にBloch導手予想を証明しました。この場合、Swan導手の修正は、対数的構造を用いて記述されます。
より一般の場合には、Deligne-Milnor予想と同様に、導来圏を用いたより洗練されたアプローチが必要となります。Berardo-Pippi [3] は、この方向へ進む重要な一歩を踏み出しており、導来圏を用いてBloch導手予想の右辺を解釈することで、非単冪の場合にも成り立つ公式を得ています。

圏論化は、他の数論的問題を解決するためにどのように役立つだろうか？

圏論化は、対象だけでなく、それらの間の関係をも考慮することで、数学的構造をより豊かに捉えることを可能にする強力な手法です。数論においても、圏論化は多くの問題に新たな光を当て、解決への道を拓く可能性を秘めています。
以下に、圏論化が数論の問題解決に役立つ可能性のある例をいくつか挙げます。
1. ラングランズ予想: ラングランズ予想は、数論における最も重要な予想の一つであり、表現論と保型形式の間の深い関係を主張しています。圏論化は、ラングランズ対応を圏の同値性に昇華させることで、より深い理解と新たな証明方法をもたらす可能性があります。
2. 岩澤理論: 岩澤理論は、代数体のイデアル類群の構造を研究する分野です。圏論化は、岩澤理論を非可換環や導来圏に拡張することで、より一般的な設定でイデアル類群の構造を研究することを可能にします。
3. モチビックコホモロジー: モチビックコホモロジーは、代数多様体のモチビック情報を捉えるコホモロジー理論です。圏論化は、モチビックコホモロジーの構成をより洗練されたものにし、その性質をより深く理解することを可能にします。
4. 数論的データの組織化: 圏論は、複雑な数学的データを組織化するための強力な言語です。数論においても、圏論を用いることで、様々な数論的対象やそれらの間の関係を体系的に理解することができます。
これらの例は、圏論化が数論においても強力なツールとなりうることを示唆しています。今後、圏論化を用いた数論の研究がますます発展していくことが期待されます。