핵심 개념
기호 리스팅은 부울 함수의 복잡도와 저깊이 산술 회로 복잡도를 공식적으로 연결하는 대수적 계산 모델을 제공한다.
초록
이 논문은 기호 리스팅, 부울 함수의 복잡도, 저깊이 산술 회로 복잡도 간의 관계를 공식적으로 정의하는 대수적 계산 모델을 제안한다.
핵심 내용은 다음과 같다:
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기호 리스팅: 부울 함수의 YES 인스턴스를 나타내는 단일식 다항식. 이는 부울 함수의 진리표 데이터를 압축하여 표현한다.
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차우 랭크: 기호 리스팅을 분해하는 최소 개수의 선형 형식. 차우 랭크는 기호 리스팅의 복잡도를 측정하는 지표이다.
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미분 컴퓨터: 기호 리스팅을 활용하여 부울 함수를 구현하는 계산 모델. 미분 연산자를 통해 계산을 수행한다.
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완전히 겹치지 않는 다항식: 차우 랭크가 최적인 특별한 다항식 클래스. 이를 통해 특정 부울 함수의 복잡도 하한을 증명할 수 있다.
이 모델은 부울 함수, 복잡도 이론, 저깊이 산술 회로 등 계산 이론의 핵심 주제를 통합적으로 다룬다.
통계
부울 함수 F의 YES 인스턴스 집합을 나타내는 기호 리스팅 PF,m(a)는 다음과 같이 정의된다:
PF,m(a) = ∑b∈{0,1}^n, F(b)=1 ω^lex(b) ∏i∈Zn a_bi
i
여기서 lex: {0,1}^n → Z_2^n은 이진 n-벡터의 열거이고, ω_m^i = 1이다.
기능 그래프 집합 S ⊆ Z_n^Z_n의 기호 리스팅 P_∈S,m은 다음과 같이 정의된다:
P_∈S,m(A) = ∑g∈S ∏i∈Zn a_i,g(i)
인용구
"부울 대수의 기초를 닦은 George Boole의 '사고의 법칙에 관한 연구'는 계산 이론의 첫 번째 기둥이다."
"Gödel, Church, Turing이 각각 일반 재귀 함수, λ-calculus, 튜링 기계를 통해 효과적 계산 가능성을 형식화한 것은 계산 이론의 두 번째 기둥이다."
"Shannon이 1940년 석사 논문에서 부울 대수를 스위칭 회로로 구현하는 일반적 절차를 제시한 것은 계산 이론의 세 번째 기둥이다."