핵심 개념
그래프 호모모피즘 문제의 세부적인 복잡도를 이해하고 Okrasa와 Rzążewski 추측을 검증하는 것이 이 논문의 핵심 목적이다.
초록
이 논문은 그래프 호모모피즘 문제의 세부적인 복잡도를 연구한다. 그래프 호모모피즘 문제는 제약 만족 문제(CSP)로 볼 수 있으며, 이진 관계의 (부분) 다형태가 CSP 복잡도 클래스 연구에 매우 중요하다.
논문의 주요 내용은 다음과 같다:
이진 대칭 관계 EH와 해당 (부분) 다형태 pPol(EH)의 표현력을 조사한다. 비반사적 그래프의 경우 EH1 = H 또는 H = H1이 아니면 pPol(EH) ⊆ pPol(EH1)인 그래프 H, H1 쌍은 존재하지 않음을 보인다.
더 일반적으로, 임의의 n진 관계 R에 대해 pPol(H) ⊆ pPol(R)이면서 CSP(R)이 NP-완전인 R을 구성할 수 있는 필요충분조건은 H에 길이 ≤ n의 홀수 사이클이 존재하는 것임을 보인다.
그래프 H의 전체 다형태 Pol(H)에 초점을 맞추어, 투영 그래프(projective graph)가 Pol(H)를 잘 설명할 수 있는 클래스임을 보인다. 또한 Okrasa와 Rzążewski의 추측을 7개 이하 정점 그래프에 대해 증명한다.
통계
그래프 H에 길이 ≤ n의 홀수 사이클이 존재하면 pPol(H) ⊂ pPol(R)이면서 CSP(R)이 NP-완전인 n진 관계 R이 존재한다.
투영 그래프는 전체 다형태가 대부분 단항 함수로 이루어져 있다.
7개 이하 정점 그래프 중 모든 그래프가 투영 그래프이다.
인용구
"There is no pair of graphs H and H' such that pPol(EH) ⊆ pPol(EH'), unless EH' = H or H = H'."
"It is possible to find an n-ary relation R with pPol(EH) ⊊ pPol(R) where Csp(R) is NP-complete, if and only if H contains an odd-cycle of length at most n."
"A graph H is projective if every idempotent polymorphism (i.e., f(x, ..., x) = x for every x ∈ VH) is a projection."