핵심 개념
Der Autor präsentiert einen randomisierten Online-Algorithmus für das Online-Bisektions-Problem, der eine Kompetitivität von O(n^{23/12} \sqrt{\log n}) erreicht und damit den natürlichen quadratischen Wettbewerbsgrad bricht.
초록
Der Artikel befasst sich mit dem Online-Bisektions-Problem, bei dem n Elemente dynamisch in zwei Cluster der Größe n/2 aufgeteilt werden müssen. Während der Laufzeit erhält ein Online-Algorithmus eine Sequenz von Anfragen, bei denen jede Anfrage ein Paar von Elementen ist: Eine Anfrage zwischen zwei Elementen in verschiedenen Clustern kostet eine Einheit, während eine Anfrage zwischen zwei Elementen im selben Cluster kostenlos ist. Der Algorithmus kann die Partition ändern, wobei er für jedes Element, das seinen Cluster wechselt, eine Einheit bezahlt.
Der Autor präsentiert einen randomisierten Online-Algorithmus namens "Improved Component Based" (Icb), der die folgenden Schlüsselaspekte umfasst:
Icb teilt eine Epoche in zwei Phasen auf. In der ersten Phase verfolgt Icb einen deterministischen Ansatz, bei dem es die Komponenten so zuordnet, dass die Kosten für das Ändern der Partition in einem einzelnen Schritt minimiert werden. In der zweiten Phase wählt Icb, falls die aktuelle Partition nicht mehr komponentenerhaltend ist, eine neue Partition zufällig aus der Menge der zulässigen Partitionen.
Zur Analyse der ersten Phase verwendet Icb die Konzepte des größten gemeinsamen Teilers (GGT) und der balancierten Partitionen. Es zeigt sich, dass Icb in den meisten Fällen die Partition nur durch Verschieben weniger Komponenten ändern muss, deren Größen sich als lineare Kombination einer moderaten Anzahl von Komponentengrößen darstellen lassen.
Für die zweite Phase argumentiert der Autor, dass Icb im Wesentlichen ein randomisierter Algorithmus für das "Metrical Tasks System"-Problem auf einer gleichmäßigen Metrik ist, was eine obere Schranke für die erwarteten Kosten in dieser Phase liefert.
Durch die Kombination dieser Ideen erreicht Icb eine Kompetitivität von O(n^{23/12} \sqrt{\log n}), was den natürlichen quadratischen Wettbewerbsgrad bricht.
통계
Die Kosten des Algorithmus Icb in einer Epoche E sind O((n^2/d) \cdot (q^4 + q \cdot w + n/q) + n \cdot d \cdot \log n), wobei q, w, d geeignete Konstanten sind.
Die Kompetitivität von Icb beträgt O(n^{23/12} \sqrt{\log n}).
인용구
"Der Autor präsentiert den ersten randomisierten Online-Algorithmus, der diese natürliche quadratische Schranke durchbricht und eine Kompetitivität von \tilde{O}(n^{23/12}) ohne Ressourcenaufstockung und für eine beliebige Sequenz von Anfragen erreicht."
"Eine natürliche Motivation für dieses Problem stammt aus Rechenzentren, in denen kommunizierende virtuelle Maschinen (Elemente) zwischen Servern (Clustern) partitioniert werden müssen und die Gesamtkommunikationskosten minimiert werden müssen."