핵심 개념
在廣義黎曼假設下,判斷一組係數為有理函數的多元多項式系統是否在其代數閉包中存在共同零點的問題(HNP)屬於複雜度類 AM。
這篇研究論文探討了判定一組係數為有理函數的多元多項式系統是否在其代數閉包中存在共同零點的問題 (HNP) 的複雜度。HNP 問題是經典的希爾伯特零點定理 (HN) 的推廣,HN 問題考慮的是係數為有理數的多項式系統。
研究背景
希爾伯特零點定理是代數幾何的基礎定理,它給出了判定一組多元多項式在代數閉域中是否存在共同零點的充要條件。與此結果相關的是計算問題 HN,即判定一組係數為有理數的多項式系統是否在代數數域上存在共同零點。Koiran 在其影響深遠的論文中證明,在廣義黎曼假設 (GRH) 下,HN 問題可以在多項式層次中判定。更準確地說,他證明了在 GRH 下,HN 問題屬於複雜度類 AM。
HNP 問題的定義
本文研究的是任意特徵為零的代數閉域上的多項式方程的可解性。由於這類域都同構於某個有理函數域的代數閉包,因此我們將 HN 問題推廣到參數化版本 HNP,其中輸入是係數為有理函數域 Q(x) 的多項式系統,目標是判定這些多項式在代數閉包 Q(x) 中是否存在共同零點。
主要貢獻
本文的主要貢獻是證明了 HNP 問題在 GRH 下屬於複雜度類 AM。證明方法與 Koiran 證明 DIM 問題屬於 AM 的方法類似,都是將參數隨機化,然後利用參數化版本的希爾伯特零點定理和環與域擴張的基本性質進行代數證明,避免了使用半代數幾何。
證明思路
不可滿足系統: 對於不可滿足的系統 S,利用弱希爾伯特零點定理和有效參數化希爾伯特零點定理,可以得到一個非零多項式 a(x),使得當 a(α) 不為零時,S 在 α 處的特化系統 Sα 也不可滿足。利用多項式恆等式引理可以估計 a(α) 為零的概率,從而得到 Sα 可滿足的概率上界。
可滿足系統: 對於可滿足的系統 S,首先利用量詞消去技術證明存在一個“小”解 β。然後利用基元定理,將 β 的每個分量表示為基元 θ 的有理函數。通過分析分母多項式 b(x) 的性質,可以證明當 b(α) 不為零時,Sα 可滿足。再次利用多項式恆等式引理可以估計 b(α) 為零的概率,從而得到 Sα 可滿足的概率下界。
歸約到 HN: 結合不可滿足系統和可滿足系統的分析結果,可以選擇合適的參數範圍 D,使得在 D 中隨機選擇 α 時,S 和 Sα 以高概率等價可滿足。這就將 HNP 問題隨機多項式時間歸約到了 HN 問題。
結論
本文證明了在 GRH 下,HNP 問題屬於複雜度類 AM。證明過程使用了代數方法,避免了使用半代數幾何。
통계
系統 S 的大小用 s 表示,等於參數個數、變量個數和多項式個數的最大值。
論文中構造的基元 θ 的最小多項式 mθ(x, y) 的次數關於 y 至多為 2(s log s)^c,關於 x 的次數也至多為 2(s log s)^c,其中 c 是一個有效常數。
論文中構造的多項式 b(x) 的次數至多為 2(s log s)^c,其中 c 是一個有效常數。
為了將 HNP 問題歸約到 HN 問題,論文中選擇的參數範圍 D = 3 * 2^(s log s)^c,其中 c 是一個有效常數。