Präzise Beschreibung der Crochemore- und Ziv-Lempel-Faktorisierungen einiger automatischer Sequenzen mit der Software Walnut

핵심 개념

Die Startpositionen und Längen der Faktoren sowohl in der Crochemore- als auch in der Ziv-Lempel-Faktorisierung einiger klassischer automatischer Sequenzen hängen nur vom zugrunde liegenden Nummerierungssystem ab.

초록

Die Studie untersucht die Frage, ob es möglich ist, mit der Software Walnut eine Beschreibung der Crochemore- und Ziv-Lempel-Faktorisierungen einer S-automatischen Sequenz x zu erhalten, die nur vom Nummerierungssystem S abhängt.

Zunächst wird der detaillierte Walnut-Code für die Fibonacci-Folge präsentiert. Dieser zeigt, dass die Paare von Positionen und Längen der Faktoren in beiden Faktorisierungen tatsächlich nur vom Zeckendorff-Nummerierungssystem abhängen.

Anschließend wird der gleiche Ansatz auf andere klassische automatische Sequenzen wie die Thue-Morse-Folge, die Period-Doubling-Folge, die Rudin-Shapiro-Folge, die Paper-Folding-Folge und die Mephisto-Waltz-Folge angewendet. Für jede dieser Sequenzen werden die entsprechenden Walnut-Codes angegeben und die Ergebnisse in Tabellenform präsentiert.

Abschließend wird diskutiert, dass eine allgemeine Antwort auf die eingangs gestellte Frage nicht offensichtlich ist. Zum einen ist Walnut nur für sogenannte addierbare abstrakte Nummerierungssysteme geeignet. Zum anderen hängen die Paare von Positionen und Längen der Faktoren stark von der spezifischen Sequenz selbst ab und nicht nur vom zugrunde liegenden Nummerierungssystem.

통계

Die Fibonacci-Folge f ist definiert durch f[n] = F_n, wobei F_0 = 1, F_1 = 2 und F_n = F_{n-1} + F_{n-2} für n ≥ 2.
Die Thue-Morse-Folge t ist definiert als der Fixpunkt des Morphismus μ: a → ab, b → ba, beginnend mit a.
Die Period-Doubling-Folge pd ist definiert als der Fixpunkt des Morphismus h: a → ab, b → aa, beginnend mit a.
Die Rudin-Shapiro-Folge rs ist definiert als τ(ρ^ω(a)), wobei ρ: a → ab, b → ac, c → db, d → dc und τ: a, b → 1, c, d → -1.
Die Paper-Folding-Folge pf ist definiert als ν(h^ω(a)), wobei h: a → ab, b → cb, c → ad, d → cd und ν: a, b → 1, c, d → -1.
Die Mephisto-Waltz-Folge mw ist definiert als der Fixpunkt des Morphismus a → aab, b → bba, beginnend mit a.

인용구

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핵심 통찰 요약

Exploring the Crochemore and Ziv-Lempel factorizations of some automatic sequences with the software Walnut

by Marieh Jahan... 게시일 arxiv.org 03-25-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.15215.pdf

더 깊은 질문

Wie lassen sich die Crochemore- und Ziv-Lempel-Faktorisierungen für andere Klassen automatischer Sequenzen, die nicht rein morphisch sind, beschreiben?

Die Crochemore- und Ziv-Lempel-Faktorisierungen für andere Klassen automatischer Sequenzen, die nicht rein morphisch sind, können durch die Verwendung von Walnut oder ähnlichen automatisierten Entscheidungsverfahren beschrieben werden. Diese Faktorisierungen brechen eine Sequenz in einfachere Komponenten auf, um wertvolle Einblicke in ihre Eigenschaften und Verhaltensweisen zu gewinnen. Durch die Definition geeigneter Prädikate und die Anpassung des Walnut-Codes können die Faktorisierungen für verschiedene automatische Sequenzen analysiert werden. Es ist wichtig, Kandidaten für die Faktorisierungen im Voraus zu kennen, um Walnut effektiv nutzen zu können.

Gibt es Möglichkeiten, die Beschränkung auf addierbare abstrakte Nummerierungssysteme in Walnut zu überwinden?

Die Beschränkung auf addierbare abstrakte Nummerierungssysteme in Walnut kann möglicherweise überwunden werden, indem das Software-Tool erweitert oder angepasst wird, um auch mit anderen Arten von abstrakten Nummerierungssystemen umgehen zu können. Dies erfordert jedoch möglicherweise eine tiefgreifende Änderung der internen Funktionalität von Walnut, um die Addition in anderen Nummerierungssystemen zu ermöglichen. Es könnte erforderlich sein, die Automatenmodelle und Logik in Walnut anzupassen, um die Flexibilität für verschiedene numerische Operationen zu verbessern.

Welche anderen Eigenschaften automatischer Sequenzen können mit ähnlichen systematischen und automatisierten Verfahren untersucht werden?

Mit ähnlichen systematischen und automatisierten Verfahren wie Walnut können auch andere Eigenschaften automatischer Sequenzen untersucht werden. Dazu gehören die Analyse von Palindromen, die Untersuchung von Wiederholungsmustern, die Charakterisierung von Periodizitäten, die Bestimmung von Wachstumsraten und die Identifizierung von speziellen Strukturen innerhalb der Sequenzen. Darüber hinaus können algorithmische Eigenschaften wie die Komplexität von Faktorisierungen, die Berechnung von Entropie und die Untersuchung von Wiederholungsfreiheit mit solchen Verfahren erforscht werden. Die systematische Anwendung von Walnut oder ähnlichen Tools ermöglicht eine umfassende Analyse verschiedener Aspekte automatischer Sequenzen.