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Der ℓ0-Isoperimetriekoeffizient messbarer Mengen
핵심 개념
Der ℓ0-Isoperimetriekoeffizient von achsenparallelen Würfeln ist von der Größenordnung Θ(n−1/2), und der Isoperimetriekoeffizient jeder messbaren Menge K ist von der Größenordnung O(n−1/2). Daraus folgt, dass achsenparallele Würfel den ℓ0-Isoperimetriekoeffizienten im Wesentlichen "maximieren": Es gibt eine positive Konstante q > 0, so dass ψK ≤q · ψC für jeden achsenparallelen Würfel C und jede messbare Menge K.
초록
In dieser Arbeit beweisen wir, dass der ℓ0-Isoperimetriekoeffizient für achsenparallele Würfel, ψC, von der Größenordnung Θ(n−1/2) ist und dass der Isoperimetriekoeffizient für jede messbare Menge K, ψK, von der Größenordnung O(n−1/2) ist.
Als Folgerung zeigen wir, dass achsenparallele Würfel den ℓ0-Isoperimetriekoeffizienten im Wesentlichen "maximieren": Es gibt eine positive Konstante q > 0, so dass ψK ≤q · ψC, wann immer C ein achsenparalleler Würfel und K eine beliebige messbare Menge ist.
Schließlich geben wir unmittelbare Anwendungen unserer Ergebnisse auf die Mischzeit von Coordinate-Hit-and-Run für das gleichmäßige Abtasten von Punkten aus konvexen Körpern an.
On the $\ell_0$ Isoperimetric Coefficient of Measurable Sets
통계
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더 깊은 질문
Wie lassen sich die Ergebnisse auf andere Geometrien als den euklidischen Raum verallgemeinern
Die Ergebnisse können auf andere Geometrien als den euklidischen Raum verallgemeinert werden, insbesondere auf symmetrische Körper und unbedingte Körper. Für symmetrische Körper gelten ähnliche Ergebnisse wie für den euklidischen Raum, da die Symmetrie bestimmte Eigenschaften wie die Balance der Volumina in den Orthanten ermöglicht. Bei unbedingten Körpern können die gleichen Methoden angewendet werden, um das ℓ0-Isoperimetrie-Verhältnis zu bestimmen und somit die Effizienz des Samplings zu bewerten.
Welche Auswirkungen haben die Ergebnisse auf andere Anwendungen der Isoperimetrie, abgesehen vom Sampling
Die Ergebnisse haben auch Auswirkungen auf andere Anwendungen der Isoperimetrie, insbesondere in der geometrischen Integration und der geometrischen Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Bestimmung des ℓ0-Isoperimetrie-Koeffizienten für messbare Mengen ermöglicht es, die Struktur und das Verhalten dieser Mengen besser zu verstehen. Dies kann in verschiedenen Bereichen wie der Bildverarbeitung, der Mustererkennung und der Datenanalyse nützlich sein, wo die Effizienz von Algorithmen von der geometrischen Beschaffenheit der Daten abhängt.
Gibt es Zusammenhänge zwischen den ℓ0-Isoperimetrieeigenschaften und anderen geometrischen Invarianten messbarer Mengen
Es gibt definitiv Zusammenhänge zwischen den ℓ0-Isoperimetrieeigenschaften und anderen geometrischen Invarianten messbarer Mengen. Zum Beispiel kann der ℓ0-Isoperimetriekoeffizient in Beziehung zu anderen geometrischen Invarianten wie dem Volumen, der Oberfläche oder dem Durchmesser einer Menge stehen. Eine niedrige ℓ0-Isoperimetrie kann auf eine spezifische Struktur oder Regelmäßigkeit der Menge hinweisen, während eine hohe Isoperimetrie auf komplexe oder unregelmäßige Formen hindeuten kann. Die Untersuchung dieser Zusammenhänge kann zu einem tieferen Verständnis der geometrischen Eigenschaften von messbaren Mengen führen.
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