閉じた時間的曲線を持つ計算の計算可能性理論

Belangrijkste concepten

本稿では、過去への時間移動能力、すなわち、幅や長さに制限のないドイッチェ的な閉じた時間的曲線（CTC）を備えたチューリングマシンによって何が計算可能かという問題を探求し、その計算能力が計算可能なマルコフ連鎖や量子チャネルの近似的な不動点を見つけることの複雑さと密接に関係していることを示す。

Samenvatting

閉じた時間的曲線を持つ計算の計算可能性理論：論文要約

Aaronson, S., Bavarian, M., Cubitt, T., Grewal, S., Gueltrini, G., O’Donnell, R., & Raat, M. (2024). Computability Theory of Closed Timelike Curves. arXiv:1609.05507v2 [quant-ph] 14 Oct 2024.

本論文は、過去への時間移動を可能にする閉じた時間的曲線（CTC）が存在する場合の計算可能性の限界を探求することを目的とする。具体的には、幅や長さに制限のないドイッチェ的なCTCを備えたチューリングマシンでどのような問題が計算可能になるかを明らかにすることを目指す。

Belangrijkste Inzichten Gedestilleerd Uit

Computability Theory of Closed Timelike Curves

by Scott Aarons... om arxiv.org 10-15-2024

https://arxiv.org/pdf/1609.05507.pdf

Diepere vragen

ドイッチェ的なCTCモデルとは異なる時間旅行のモデルを想定した場合、計算可能性にどのような影響があるだろうか？

ドイッチェ的なCTCモデルは、時間旅行における矛盾を回避するために、常に一貫性のある状態（つまり、閉じた時間的ループ内で矛盾が生じない状態）が存在すると仮定しています。しかし、時間旅行のモデルは他にも考えられ、それぞれ計算可能性に異なる影響を与える可能性があります。

自己矛盾を許容するモデル: このモデルでは、時間旅行者が過去に干渉することで矛盾が生じても、計算が停止したり宇宙が崩壊したりするのではなく、矛盾を含んだまま計算が進行します。このようなモデルでは、計算の一貫性を保証することが難しくなり、従来の計算モデルでは捉えきれない可能性があります。例えば、停止性問題のような決定不可能な問題が、矛盾を利用することで「解決」できるようになるかもしれません。

分岐時間線モデル: このモデルでは、時間旅行者が過去に干渉すると、その時点で時間線が分岐し、元の時間線には影響を与えません。この場合、CTCを使って計算を行っても、元の時間線における計算能力は変化しません。ただし、分岐した時間線から情報を得る手段があれば、計算能力が向上する可能性があります。

時間順序の曖昧なモデル: 量子重力理論などでは、時間そのものが明確に定義できない可能性も示唆されています。もし時間順序が曖昧な場合、計算のステップも明確に定義できなくなり、計算可能性の概念自体が再考を迫られる可能性があります。
これらのモデルはあくまで一例であり、時間旅行のモデルは他にも考えられます。重要なのは、時間旅行のモデルによって計算可能性への影響が大きく異なる可能性があり、どのモデルが現実世界を適切に記述しているのかはまだ不明であるということです。

計算能力の観点ではなく、情報理論的な観点からCTCを分析すると、どのような知見が得られるだろうか？

情報理論的な観点からCTCを分析すると、時間と情報の関係について新たな知見が得られる可能性があります。

CTCにおける情報伝達の限界: CTCは過去の自分自身に情報伝達できるため、一見すると無限の情報を伝達できるように思えます。しかし、CTCのサイズや量子効果などを考慮すると、実際に伝達可能な情報量には限界がある可能性があります。この限界を明らかにすることで、時間と情報の関係に関する理解が深まります。

CTCとエントロピー: エントロピーは、系の乱雑さや情報量の尺度です。CTCが存在する場合、情報は時間的にループするため、エントロピーの増大則（熱力学第二法則）との整合性が問題となります。CTCにおけるエントロピーの変化を分析することで、時間反転対称性と情報理論の関係について新たな知見が得られる可能性があります。

CTCと量子情報理論: 量子情報理論は、量子力学における情報処理を扱う分野です。CTCは量子現象と密接に関係していると考えられており、量子情報理論を用いることで、CTCにおける情報伝達や情報処理をより深く理解できる可能性があります。例えば、量子テレポーテーションや量子もつれといった量子現象が、CTCにおいてどのような役割を果たすのかを解明することが期待されます。
これらの分析を通して、CTCは単なる時間旅行の道具ではなく、時間と情報の本質に迫るための重要な鍵となる可能性があります。

時間旅行が不可能であることを証明するために、計算複雑性理論はどのように活用できるだろうか？

時間旅行が不可能であることを計算複雑性理論を用いて直接証明することは、現状では難しいと考えられています。なぜなら、時間旅行の不可能性は物理法則に根ざした問題であり、計算複雑性理論はあくまで計算の難しさを扱う理論だからです。
しかし、計算複雑性理論は、時間旅行がもたらす矛盾や不自然さを指摘することで、間接的にその不可能性を示唆することができます。

時間旅行による計算能力の異常な増大: もし時間旅行が可能であれば、計算複雑性クラスの階層が崩壊するなど、計算能力が異常に増大する可能性があります。例えば、NP完全問題のような困難な問題が、時間旅行を用いることで簡単に解けてしまうかもしれません。もしそのような不自然な結果が導かれるとすれば、それは時間旅行の不可能性を示唆する証拠となりえます。

時間旅行と情報理論的矛盾: 時間旅行は、情報の複製や消滅といった情報理論的な矛盾を引き起こす可能性があります。例えば、過去の自分に情報を送信することで、情報が無限に複製されてしまうかもしれません。このような矛盾は、時間旅行の不可能性を示唆する証拠となる可能性があります。

時間旅行と量子計算の不整合性: 時間旅行は、量子計算の原理と相容れない可能性があります。例えば、量子状態の重ね合わせやもつれといった量子現象が、時間旅行によって破壊される可能性も考えられます。もし時間旅行と量子計算の間に根本的な不整合性が存在するとすれば、それは時間旅行の不可能性を示唆する証拠となりえます。
このように、計算複雑性理論は、時間旅行がもたらす様々な矛盾や不自然さを明らかにすることで、時間旅行の不可能性を間接的に示唆する強力なツールとなりえます。ただし、これらの議論はあくまで間接的な証拠に過ぎず、時間旅行の不可能性を決定的に証明するものではありません。時間旅行の可否は、最終的には物理学的な実験や観測によって決着をつける必要があるでしょう。