Belangrijkste concepten
Effiziente Konstruktionen für die Selbstorganisation verschiedener Muster auf Quadraten, einschließlich einfacher Muster, 2-farbiger Muster und sich wiederholender Muster, sowie eine exponentielle Lücke in der Kachel-Komplexität zwischen 2D- und 3D-Systemen.
Samenvatting
Die Studie untersucht die Komplexität, gemessen an der Anzahl der benötigten eindeutigen Kacheltypen, für die Selbstorganisation verschiedener Muster im abstrakten Kachel-Zusammenbau-Modell (aTAM).
Zunächst werden effiziente Konstruktionen präsentiert, um einfache Muster selbst zu organisieren:
- Ein Muster mit einem einzelnen schwarzen Pixel kann mit O(log n) Kacheltypen selbstorganisiert werden.
- Ein Muster mit k schwarzen Pixeln kann mit O(k log n) Kacheltypen selbstorganisiert werden.
- Ein Muster mit alternierenden schwarzen und weißen Streifen kann mit O(log n) Kacheltypen selbstorganisiert werden.
Anschließend wird gezeigt, dass für fast alle 2-farbigen Muster auf n×n Quadraten die Kachel-Komplexität Θ(n²/log n) ist. Dies wird durch einen Informationstheorie-basierten Beweis für eine untere Schranke und eine konstruktive obere Schranke gezeigt.
Schließlich wird demonstriert, dass es einen exponentiellen Unterschied in der Kachel-Komplexität zwischen 2D-Systemen und "knapp 3D"-Systemen (mit nur zwei Ebenen in der dritten Dimension) gibt. Es wird ein Muster konstruiert, das von einem "knapp 3D"-System mit O(log n/log log n) Kacheltypen selbstorganisiert werden kann, aber von keinem 2D-System mit weniger als n Kacheltypen selbstorganisiert werden kann.
Statistieken
Es gibt n² mögliche Muster auf einem n×n Quadrat.
Für fast alle dieser Muster ist die Kachel-Komplexität Ω(n²/log n).
Es gibt ein Muster, das von einem "knapp 3D"-System mit O(log n/log log n) Kacheltypen selbstorganisiert werden kann, aber von keinem 2D-System mit weniger als n Kacheltypen selbstorganisiert werden kann.
Citaten
"Effiziente Konstruktionen für die Selbstorganisation verschiedener Muster auf Quadraten, einschließlich einfacher Muster, 2-farbiger Muster und sich wiederholender Muster, sowie eine exponentielle Lücke in der Kachel-Komplexität zwischen 2D- und 3D-Systemen."
"Für fast alle 2-farbigen Muster auf n×n Quadraten ist die Kachel-Komplexität Θ(n²/log n)."
"Es gibt ein Muster, das von einem 'knapp 3D'-System mit O(log n/log log n) Kacheltypen selbstorganisiert werden kann, aber von keinem 2D-System mit weniger als n Kacheltypen selbstorganisiert werden kann."