Ineffiziente Online-Sortierung und Übersetzungspacking von konvexen Polygonen

Belangrijkste concepten

Es gibt keine konstant-kompetitiven Online-Algorithmen für verschiedene Packungsprobleme mit konvexen Polygonen, selbst wenn die Polygone sehr kleine Durchmesser haben.

Samenvatting

Der Artikel untersucht mehrere Online-Packungsprobleme, bei denen konvexe Polygone nacheinander eintreffen und unwiderruflich in einen Behälter platziert werden müssen, mit dem Ziel, den verwendeten Platz zu minimieren. Dazu gehören Strip-Packing, Bin-Packing, Perimeter-Packing und Square-Packing.

Für diese Probleme gibt es, wenn Rotation erlaubt ist oder die Polygone achsparallele Rechtecke sind, konstant-kompetitive Online-Algorithmen. Daher ist es naheliegend zu vermuten, dass es auch für das Online-Packing von konvexen Polygonen ohne Rotation konstant-kompetitive Algorithmen gibt. Die Autoren widerlegen diese Vermutung jedoch, indem sie Schranken für die Wettbewerbsfähigkeit von Online-Algorithmen beweisen.

Um diese Schranken zu entwickeln, führen die Autoren das Problem der Online-Sortierung ein, das sie als unabhängig interessant erachten. Dieses Problem erfordert das Platzieren einer Folge von Zahlen in ein überdimensioniertes Array, wobei die Summe der absoluten Differenzen benachbarter Zahlen minimiert werden soll. Die Autoren zeigen, dass es für dieses Problem keine konstant-kompetitiven Online-Algorithmen gibt.

Darüber hinaus präsentieren die Autoren Algorithmen für Online-Sortierung und Online-Strip-Packing mit nicht-trivialen Wettbewerbsverhältnissen. Der Algorithmus für Strip-Packing verwendet eine neue Technik zum rekursiven Unterteilen des Streifens in Parallelogramme mit unterschiedlicher Höhe, Dicke und Neigung.

Statistieken

Für jedes γ, ∆≥1, für die Online-Sortierung[γ, n] einen ∆-kompetitiven Algorithmus gibt, gilt γ∆= Ω(log n/ log log n).
Jeder Online-Algorithmus für Online-Sortierung[1, n] hat ein Wettbewerbsverhältnis von mindestens √n/2.
Es gibt einen Online-Algorithmus für Online-Sortierung[1, n] mit einem Wettbewerbsverhältnis von höchstens 18√n.
Es gibt einen Algorithmus für Strip-Packing mit einem Wettbewerbsverhältnis von O(nlog 3−1 log n).

Citaten

"Wir widerlegen diese Vermutung jedoch, indem wir Schranken für die Wettbewerbsfähigkeit von Online-Algorithmen beweisen."
"Um diese Schranken zu entwickeln, führen die Autoren das Problem der Online-Sortierung ein, das sie als unabhängig interessant erachten."
"Der Algorithmus für Strip-Packing verwendet eine neue Technik zum rekursiven Unterteilen des Streifens in Parallelogramme mit unterschiedlicher Höhe, Dicke und Neigung."

Belangrijkste Inzichten Gedestilleerd Uit

Online Sorting and Translational Packing of Convex Polygons

by Anders Aaman... om arxiv.org 04-09-2024

https://arxiv.org/pdf/2112.03791.pdf

Diepere vragen

Wie könnte man den exponentiellen Unterschied zwischen den unteren und oberen Schranken für Online-Sortierung[γ, n] bei konstantem γ > 1 schließen

Um den exponentiellen Unterschied zwischen den unteren und oberen Schranken für Online-Sortierung[γ, n] bei konstantem γ > 1 zu schließen, könnte man verschiedene Ansätze verfolgen. Eine Möglichkeit wäre die Entwicklung einer neuen adversariellen Strategie, die speziell auf die Eigenschaften des Algorithmus abzielt und die untere Schranke erhöht. Dies könnte durch die gezielte Platzierung von Zahlen in der Eingabesequenz erreicht werden, um die Kosten des Algorithmus zu maximieren. Eine weitere Möglichkeit wäre die Untersuchung von speziellen Eigenschaften des Algorithmus und der adversariellen Strategie, um zu verstehen, warum der exponentielle Unterschied besteht und ob dieser reduziert werden kann.

Ist es möglich, einen no(1)-kompetitiven Algorithmus für Strip-Packing zu finden, ähnlich wie für Online-Sortierung[1 + ε, n]

Es ist möglich, einen no(1)-kompetitiven Algorithmus für Strip-Packing zu finden, ähnlich wie für Online-Sortierung[1 + ε, n]. Dies könnte durch die Entwicklung einer innovativen Strategie erfolgen, die die spezifischen Anforderungen des Strip-Packing-Problems berücksichtigt und eine effiziente Platzierung der Polygone ermöglicht. Möglicherweise könnten Techniken wie die Aufteilung des Streifens in parallelogrammförmige Abschnitte oder die Optimierung der Platzierung der Polygone verwendet werden, um einen wettbewerbsfähigen Algorithmus zu entwickeln.

Gibt es eine randomisierte, verdeckte Strategie für den Gegner, die eine bessere untere Schranke als unsere deterministische Strategie liefert

Es ist möglich, eine randomisierte, verdeckte Strategie für den Gegner zu entwickeln, die eine bessere untere Schranke als die deterministische Strategie liefert. Dies könnte durch die Verwendung von Zufallselementen in der adversariellen Strategie erreicht werden, um die Vorhersagbarkeit zu verringern und den Algorithmus vor unerwarteten Szenarien zu stellen. Durch die Kombination von Zufallselementen mit intelligenten Entscheidungen könnte eine randomisierte Strategie entwickelt werden, die die untere Schranke für Online-Sortierung[γ, n] verbessert.