本論文では、古典的なアイソペリメトリック不等式とその指向性アナログの関係、および単調性テストとの関係を探る。特に、実数値関数f : [0, 1]d → Rの単調性をL2距離に関してテストする問題を考える。
主な結果は以下の通り:
M-Lipschitzな関数fのL2単調性テスターを提案し、クエリ複雑度がe
O(√dM2/ϵ2)であることを示す。この結果は、[Fer23]で提案されたクエリ複雑度O(dM/ϵ)のL1テスターを改善する。
指向性ポアンカレ不等式 distmono
2(f)2 ≤ C E[|∇−f|2]を示す。ここで、∇−fは関数fの単調性を局所的に表す指向性勾配を表す。
この指向性ポアンカレ不等式の証明では、指向性熱方程式と最適輸送理論を組み合わせた動的アプローチを用いる。この証明は、古典的なポアンカレ不等式が熱方程式の収束性を特徴づけるのと同様の数理物理学的視点に基づいている。
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by Renato Ferre... klokken arxiv.org 04-30-2024
https://arxiv.org/pdf/2404.17882.pdfDypere Spørsmål