非可允許的不可約表示：探討 p-進 GLn 在特徵 p 中的表現

Grunnleggende konsepter

當 F 是 Fp 的非平凡有限擴張且 p > 3 時，存在 GLn(F) 在 F 的剩餘域上定義的平滑絕對不可約非可允許表示。

Sammendrag

這篇研究論文探討了 p-進約化群在特徵 p 係數域上的平滑表示理論。作者們旨在解決 p-進約化群的不可約表示是否必然可允許的問題。

本研究的主要目標是探討哪些 p-進約化群允許不可約的非可允許表示，特別關注 GLn(F) 的情況，其中 F 是 Fp 的非平凡有限擴張。

Viktige innsikter hentet fra

Non-admissible irreducible representations of $p$-adic $\mathrm{GL}_{n}$ in characteristic $p$

by Eknath Ghate... klokken arxiv.org 10-10-2024

https://arxiv.org/pdf/2210.07281.pdf

Dypere Spørsmål

這些非可允許不可約表示的性質與特徵 0 情況下的可允許表示有何不同？

在特徵 0 的情況下，p 進約簡群的不可約平滑表示一定是可允許表示，這表示在任何緊開子群下不變的向量空間都是有限維的。 然而，在特徵 p 的情況下，本文構造的不可約表示是非可允許表示，這表示存在緊開子群（例如本文中的 pro-p Iwahori 子群）使得在其下不變的向量空間是無限維的。
具體來說，主要差異在於：

維度: 可允許表示在緊開子群下的不變向量空間是有限維的，而非可允許表示則否。
結構: 可允許表示的結構相對簡單，可以使用 Harish-Chandra 的理論進行分類。而非可允許表示的結構更為複雜，目前還沒有完整的分類理論。
構造方法: 可允許表示通常可以使用誘導表示等經典方法構造。而非可允許表示的構造則需要用到更為精細的技巧，例如本文中使用的 Breuil-Paškūnas 圖論。

如果放寬對質數 p 或局部域 F 的限制，是否還能得到類似的結果？

本文的結果是在 p>3 且 F 的剩餘域是 Fp 的真有限擴張的條件下得到的。 放寬這些限制可能會導致不同的結果：

p=2 或 3: 對於 p=2 或 3，GL2(F) 的不可約表示的分類更加複雜，目前還不清楚是否存在非可允許的不可約表示。
F 的剩餘域為 Fp: 當 F 的剩餘域為 Fp 時，Berger、Barthel-Livné 和 Breuil 的結果表明 GL2(F) 的所有絕對不可約表示都是可允許的。 因此，在這種情況下，不存在非可允許的不可約表示。
其他約簡群: 對於其他 p 進約簡群，是否存在非可允許的不可約表示是一個開放性問題。 Emerton、Gee、Hellmann 和 Zhu 的猜想暗示了這種表示的存在，但目前還沒有明確的證據。

這些非可允許不可約表示在數論或其他領域中有哪些具體應用？

非可允許不可約表示的應用目前還處於探索階段，但它們在以下幾個方面具有潛在的應用價值：

模 p Langlands 綱領: 非可允許表示的出現為模 p Langlands 綱領帶來了新的挑戰和機遇。它們可能對理解 Galois 表示與自守表示之間的對應關係起到重要作用。
自守形式與表示論: 非可允許表示可能與某些特殊的自守形式或自守表示有關。 探索這些聯繫可能有助於我們更好地理解自守形式和表示論。
算術幾何: 非可允許表示可能與某些算術幾何對象（例如志村簇）的模 p 上同調群有關。 研究這些聯繫可能有助於我們更好地理解這些算術幾何對象的性質。
總之，非可允許不可約表示的發現為 p 進約簡群的表示論開闢了新的研究方向，並為數論和其他領域帶來了新的研究課題。