선형 시스템을 해결하기 위한 일반적인 반복 분할 방법
최근 Ahmadi et al. (2021)과 Tagliaferro (2022)가 제안한 선형 시스템의 수치 해결을 위한 반복 방법들은 Jacobi 방법보다 빠르게 수렴하지만 Gauss-Seidel 방법보다는 느리게 수렴한다. 이 논문에서는 이러한 방법들을 포함하는 일반적인 반복 분할 방법 클래스를 소개하고, 이 클래스 내에서 분할의 정제 관계와 수렴 속도 간의 관계를 분석한다.
파동 방정식을 위한 블록 α-순환 전처리기 기반 MINRES 방법
본 연구에서는 파동 방정식의 이산화로부터 얻어진 전체 시스템을 해결하기 위해 절대값 블록 α-순환 전처리기를 제안한다. 이 전처리기는 MINRES 방법에 적합한 양의 정부호 행렬이며, 빠른 푸리에 변환을 통해 효율적으로 구현할 수 있다. 이론적으로 적절한 α를 선택하면 MINRES 솔버의 수렴 속도가 행렬 크기에 독립적인 선형 수렴 속도를 달성할 수 있음을 보인다.
새로운 불연속 Galerkin 방법의 대류 우세 문제에 대한 수렴 분석
본 논문에서는 대류 우세 체제에서 수치적으로 안정적이고 수렴하는 방법을 제안하고 분석한다. 불연속 Galerkin (DG) 방법을 고려하는데, 이는 표준 유한 요소 방법이 가짜 진동을 유발하기 때문이다. 새로운 DG 유한 요소 미분 계산 프레임워크를 따르며, 방정식의 무한 차원 연산자를 유한 차원 DG 미분 연산자로 근사한다. 이를 통해 최적의 수렴 속도를 달성한다.
타원형 문제에 대한 div 최소제곱 유한요소법의 초수렴 오차 추정
본 논문에서는 타원형 문제에 대한 div 최소제곱 유한요소법의 오차 추정을 다룬다. 기존 연구 결과를 개선하여 스칼라 변수와 유속 변수에 대한 완전한 오차 분석을 제시한다. 이중 인수 방법을 사용하여 대부분의 경우 H1+ε 정칙성만으로도 최적의 L2 오차 추정을 얻을 수 있음을 보인다. 수치 실험 결과가 이러한 분석을 강력히 뒷받침한다.
다중 지수 기반의 국소적으로 정의된 다중 매개변수 고유값 문제를 해결하기 위한 뉴턴 방법
국소적으로 정의된 다중 매개변수 고유값 문제를 다중 지수를 이용하여 해결하는 새로운 접근법을 제시한다. 이 방법은 세미스무스 뉴턴 방법으로 해석될 수 있으며, 따라서 국소적 이차 수렴을 보장할 수 있다. 또한 특정 극단적인 고유값의 경우 전역적 선형 수렴도 가능하다.
파형 최적 제어 문제를 위한 강건한 유한 요소 솔버
공간-시간 유한 요소 이산화를 통해 얻어진 선형 대수 방정식 시스템을 위한 강건한 반복 솔버를 제안, 분석 및 테스트한다. 표준 L2 정규화와 더 일반적인 에너지 정규화에 대해 최적의 정규화 매개변수 선택을 통해 효율적인 솔버를 구축한다.
노이즈가 있는 연속 주기 함수의 정규화된 최소 제곱 근사에 대한 매개변수 선택 전략
이 논문에서는 단위 원 상의 등간격 노드에서 노이즈가 있는 연속 주기 함수의 값으로부터 정규화된 최소 제곱 방법을 사용하여 삼각함수 다항식 재구성을 고려한다. 트라페조이드 규칙의 정확성을 이용하여 구축된 삼각함수 다항식을 명시적으로 결정할 수 있음을 나타낸다. 또한 Lebesgue 상수의 추정에 기반하여 구체적인 오차 한계를 도출한다. 특히 Morozov의 불일치 원리, L-곡선 및 일반화된 교차 검증과 같은 세 가지 정규화 매개변수 선택 전략을 분석한다. 마지막으로 수치 예제를 통해 위의 전략으로 선택된 매개변수가 근사 품질을 향상시킬 수 있음을 보여준다.
실대각 삼중대각 안장점 문제를 위한 슈어 보조행렬 전처리기
이 연구에서는 실대각 삼중대각 안장점 문제를 해결하기 위해 슈어 보조행렬을 사용하는 전처리기를 제안한다. 이 전처리기는 중첩(또는 재귀) 슈어 보조행렬과 원래 안장점 시스템을 재배열한 후의 가산형 슈어 보조행렬에 기반한다. 적절한 부호 선택을 통해 긍정적으로 안정적인 전처리된 시스템을 얻을 수 있음을 보여준다. 이러한 긍정적으로 안정적인 전처리기는 슈어 보조행렬을 근사적으로 사용할 때 다른 전처리기보다 우수한 성능을 보인다.
선형 탄성 문제를 위한 락킹 프리 하이브리드 고차 방법
본 논문은 선형 탄성 문제를 위한 락킹 프리 하이브리드 고차 방법을 제안한다. 이 방법은 단일 재구성 연산자를 사용하여 라메 매개변수 λ에 강건한 준최적 근사 및 a posteriori 오차 추정을 제공한다.
파라볼릭-파라볼릭 인터페이스 문제에 적용된 고차 보정 방법
본 논문에서는 파라볼릭-파라볼릭 인터페이스 문제에 대한 예측-보정 방법을 제안하고 분석한다. 예측 단계에서는 Robin-Robin 분할 방법을 사용하고, 보정 단계에서는 예측 단계의 오차를 활용하여 2차 정확도의 해를 얻는다.
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