Grunnleggende konsepter
Dieser Artikel beweist, dass der Dijkstra-Algorithmus, wenn er mit einer ausreichend effizienten Heap-Datenstruktur kombiniert wird, universell optimal für das natürliche Problem der Anordnung von Knoten nach ihrer Entfernung von der Quelle ist.
Sammendrag
Der Artikel befasst sich mit der Frage der universellen Optimalität von Graphenalgorithmen. Universelle Optimalität ist eine leistungsgarantie jenseits des schlimmsten Falls, die informell besagt, dass ein einzelner Algorithmus so gut wie möglich für jede einzelne Graphentopologie abschneidet.
Die Autoren geben die erste Anwendung dieses Konzepts auf einen sequentiellen Algorithmus an. Sie entwerfen eine neue Heap-Datenstruktur mit der Working-Set-Eigenschaft, die garantiert, dass der Heap die Lokalität in Heap-Operationen ausnutzt. Dieser Heap entspricht den optimalen (schlimmsten Fall) Grenzen von Fibonacci-Heaps, bietet aber auch die darüber hinausgehende Garantie, dass die Kosten für das Extrahieren des Minimumelements lediglich logarithmisch in der Anzahl der Elemente sind, die nach ihm eingefügt wurden, anstatt logarithmisch in der Gesamtzahl aller Elemente im Heap. Dies macht das Extrahieren von kürzlich hinzugefügten Elementen billiger.
Die Autoren beweisen, dass ihre Working-Set-Eigenschaft ausreicht, um die universelle Optimalität zu garantieren, insbesondere für das Problem der Anordnung von Knoten nach ihrer Entfernung von der Quelle: Die Lokalität in der Folge der Heap-Operationen, die von einem beliebigen Lauf des Dijkstra-Algorithmus auf einer festen Topologie erzeugt wird, ist stark genug, dass man die Anzahl der von einem beliebigen Heap mit unserer Working-Set-Eigenschaft durchgeführten Vergleiche an die minimale Anzahl der Vergleiche koppeln kann, die erforderlich sind, um das Entfernungsordnungsproblem auf dieser Topologie zu lösen.
Darüber hinaus präsentieren die Autoren eine Variante des Dijkstra-Algorithmus, die nicht nur in Bezug auf die Laufzeit, sondern auch in Bezug auf die Anzahl der Vergleiche universell optimal ist.
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