Newtons Methode für nichtlineare Abbildungen in Vektorbündel
Die Arbeit etabliert Newtons Methode für Abbildungen F : X → E, wobei X eine Banach-Mannigfaltigkeit und E ein Vektorbündel über einer Basis-Mannigfaltigkeit M ist. Dafür werden zusätzliche geometrische Strukturen wie eine Verbindung auf E und eine Retraktion auf X benötigt, um die Newton-Gleichung und den Newton-Schritt wohldefiniert zu machen.
Der ℓ0-Isoperimetriekoeffizient messbarer Mengen
Der ℓ0-Isoperimetriekoeffizient von achsenparallelen Würfeln ist von der Größenordnung Θ(n−1/2), und der Isoperimetriekoeffizient jeder messbaren Menge K ist von der Größenordnung O(n−1/2). Daraus folgt, dass achsenparallele Würfel den ℓ0-Isoperimetriekoeffizienten im Wesentlichen "maximieren": Es gibt eine positive Konstante q > 0, so dass ψK ≤q · ψC für jeden achsenparallelen Würfel C und jede messbare Menge K.
Minimale Anordnungen sphärischer Geodäten
In dieser Arbeit werden grundlegende Ergebnisse zu Anordnungen von geodätischen Bögen auf einer Kugel präsentiert, bei denen alle Bögen intern disjunkt sind und die Endpunkte jedes Bogens im Inneren anderer Bögen liegen.
Konvexität von fast-optimalen orthogonalitätsfreien Mengen auf der Einheitssphäre
Wenn die Doppelkappen-Vermutung nicht wahr ist, gibt es eine Menge in A mit einem Maß streng größer als das Maß der Doppelkappe.
Optimale sphärische Codes durch exakte semidefinite Programmierungsgrenzen
Wir zeigen, dass die spektralen Einbettungen aller bekannten dreieckfreien stark regulären Graphen optimale sphärische Codes sind (die neuen Fälle sind 56 Punkte in 20 Dimensionen, 50 Punkte in 21 Dimensionen und 77 Punkte in 21 Dimensionen), sowie bestimmte gegenseitig unbiasierte Basisanordnungen, die unter Verwendung von Kerdock-Codes in bis zu 1024 Dimensionen konstruiert wurden (nämlich 24k+22k+1 Punkte in 22k Dimensionen für 2 ≤k ≤5). Als Folge des Letzteren erhalten wir die Optimalität der Kerdock-Binärcodes der Blocklänge 64, 256 und 1024 sowie die Eindeutigkeit für die Blocklänge 64. Wir beweisen auch die universelle Optimalität für 288 Punkte auf einer Sphäre in 16 Dimensionen.
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