Główne pojęcia
本論文では、Cahn-Hilliard方程式に対する2次の時間精度と4次の空間精度を持つ数値スキームの収束性解析を行い、収束定数の改良を行った。
Streszczenie
本論文では、Cahn-Hilliard方程式に対する2次の時間精度と4次の空間精度を持つ数値スキームの収束性解析を行っている。
主な内容は以下の通り:
- 数値スキームの定式化と安定性の解析
- 時間離散化にはBDF2スキームを、空間離散化には4次の長ステンシル有限差分法を用いている。
- 数値スキームの一意可解性、エネルギー安定性、H1ノルムの一様有界性を示した。
- 数値解の高次Sobolevノルムの一様有界性の解析
- 数値解のHmノルム(m≥2)の時間に関する一様有界性を示した。
- この際、収束定数のεに関する依存性が多項式オーダーに改良された。
- 収束性の改良解析
- 標準的な誤差解析では収束定数がεに関して指数関数的に発散するのに対し、本論文では収束定数をεに関して多項式オーダーに改良した。
- これには、数値解の高次Sobolevノルムの一様有界性と線形化Cahn-Hilliard作用素のスペクトル解析が重要な役割を果たした。
- 3次元数値例による検証
Statystyki
数値スキームの一意可解性、エネルギー安定性、H1ノルムの一様有界性が成り立つ。
数値解のHmノルム(m≥2)が時間に関して一様有界で、その収束定数はεに関して多項式オーダーである。
提案手法の離散H-1ノルムの誤差は、O(Δt^2 + h^4)の精度を持ち、収束定数はO(e^(C*_0 T) ε^(-J_0))の形で表される。