Główne pojęcia
次数限定の射影またはアフィン多様体を回避する、明示的で効率的に計算可能な部分空間族を構成する方法が示されています。
本稿は、次数が制限された射影またはアフィン多様体を回避する部分空間族の明示的な構成について論じています。これは、決定性ブラックボックス多項式恒等式テスト(PIT)と(弱い)ロスレスランクコンデンサーの構成問題の両方を一般化する問題です。
主な結果
チョウ形式を用いることで、射影またはアフィンn次元空間内の次数が制限されたすべての多様体を回避する、多項式サイズの明示的なk次元部分空間族を構成します。
この構成を応用することで、次数が低い射影またはアフィンn次元空間内の多様体に対するネーターの正規化補題の完全なderandomizationを実現します。
別の応用として、Sylvester-Gallai構成に属さない、次数が制限されたtop fan-inとbottom fan-inを持つ深さ4の算術回路に対する、単純な多項式時間ブラックボックスPITアルゴリズムを実現します。これは、Gupta(ECCC TR 14-130)の結果を改善および簡略化したものです。
明示的な構成を補完するものとして、射影n次元空間内の次数dの多様体を回避するk次元部分空間族のサイズについて、タイトな下限を証明します。n − k = nΩ(1)の場合、dが制限されない限り、下限は超多項式になります。この証明では、射影部分多様体をパラメータ化するチョウ多様体に対する次元計算引数を使用します。
意義
本稿の結果は、計算複雑性理論、特に決定性PITアルゴリズムの設計と、ロスレスランクコンデンサーの構成に重要な意味を持ちます。明示的な多様体回避部分空間族の構成は、これらの問題に対する新しいアプローチを提供し、さらなる研究への道を開きます。