p진 GLn의 허용 불가능 기약 표현 (표수 p)

Główne pojęcia

이 논문은 p진수체 위에서 정의된 GLn의 부드러운 표현 이론, 특히 p > 3이고 잔여체가 Fp의 진 적분 확장인 비아르키메데스 국소체 F에 대한 GLn(F)의 허용 불가능 기약 표현의 구성에 대해 다룹니다.

Streszczenie

이 연구 논문은 p진수체 위에서 정의된 GLn의 부드러운 표현 이론을 다루며, 특히 p > 3이고 잔여체가 Fp의 진 적분 확장인 비아르키메데스 국소체 F에 대한 GLn(F)의 허용 불가능 기약 표현의 구성에 중점을 둡니다.

서지 정보

Eknath Ghate, Daniel Le, Mihir Sheth. (2024). p진 GLn의 허용 불가능 기약 표현 (표수 p). [arXiv:2210.07281v3 [math.RT]].

연구 목표

이 논문의 주요 목표는 GL2(F)에 대한 부드러운 절대 기약 비허용 표현을 구성하고 포물선 유도를 통해 GLn(F) (n > 2)에 대한 그러한 표현을 얻는 것입니다.

방법론

저자들은 Breuil과 Paškūnas의 다이어그램 이론, 특히 순환 모듈을 사용하여 GL2(F)에 대한 허용 불가능 기약 표현을 구성합니다. 이 구성에는 두 개의 순환 모듈을 함께 연결하여 다중성 없는 socle과 cosocle을 가진 "스플라이스된 모듈"을 생성하는 작업이 포함됩니다. 그런 다음 이 모듈을 사용하여 GL2(F)의 무한 차원 기약 다이어그램을 구성하고, 이를 통해 원하는 표현을 얻습니다. GLn(F) (n > 2)의 경우, 저자들은 GL2(F)의 비허용 기약 표현을 포물선적으로 유도하고 Herzig의 컴팩트 유도와 포물선 유도 사이의 비교 동형을 사용하여 기약성을 증명합니다.

주요 결과

이 논문의 주요 결과는 잔여체가 Fp의 진 적분 확장인 비아르키메데스 국소체 F와 p > 3에 대해 GLn(F)의 부드러운 절대 기약 비허용 표현이 존재한다는 것입니다. 또한 잔여체가 Fp의 진 적분 확장인 비아르키메데스 국소체 F와 p > 3에 대해, 엔도모피즘 대수가 대수적으로 닫힌 체를 포함하는 GL2(F)의 기약 부드러운 표현이 존재한다는 것도 보여줍니다.

결론

저자들은 Breuil과 Paškūnas의 다이어그램 이론을 사용하여 특정 p진수 그룹에 대한 허용 불가능 기약 표현의 존재를 확립했습니다. 이러한 결과는 p진수 환원 그룹의 부드러운 표현 이론에 대한 우리의 이해에 상당한 영향을 미칩니다. 특히, 이러한 표현은 특정 모듈라이 공간의 기하학적 특성을 반영할 수 있는 Langlands 매개변수의 적절한 모듈라이 스택에 대한 준연접 층 범주에 대한 완전히 충실한 펑터의 추측적 존재에 대한 의미를 갖습니다.

의의

이 연구는 p진수 환원 그룹의 표현 이론, 특히 표수 p 필드에 대한 표현 이론을 이해하는 데 중요한 기여를 합니다. 허용 불가능 기약 표현의 구성은 이 분야의 근본적인 질문에 대한 반례를 제공하고 추가 조사를 위한 새로운 길을 열어줍니다.

제한 사항 및 향후 연구

이 논문에서는 잔여체가 Fp의 진 적분 확장인 비아르키메데스 국소체 F에 중점을 둡니다. 그러나 Berger, Barthel-Livnè 및 Breuil의 결과를 감안할 때 F의 잔여체가 Fp인 경우 이러한 구성이 유지되지 않을 수 있습니다. 저자들은 또한 이러한 결과의 의미, 특히 Langlands 매개변수의 적절한 모듈라이 스택에 대한 준연접 층 범주에 대한 부드러운 GLn(F) 표현 범주에서 완전히 충실한 펑터의 추측적 존재와 관련하여 추가로 살펴볼 것을 제안합니다.

Statystyki

Cytaty

Kluczowe wnioski z

Non-admissible irreducible representations of $p$-adic $\mathrm{GL}_{n}$ in characteristic $p$

by Eknath Ghate... o arxiv.org 10-10-2024

https://arxiv.org/pdf/2210.07281.pdf

Głębsze pytania

이 논문에서 제시된 구성을 다른 p진수 환원 그룹으로 확장하여 허용 불가능 기약 표현의 존재를 탐구할 수 있을까요?

이 논문에서 제시된 GL2(F)에 대한 비허용적 기약 표현의 구성은 다른 p-adic 환원 그룹으로 확장될 가능성이 있습니다. 하지만, 몇 가지 어려움과 고려해야 할 사항들이 있습니다.
가능성:

순환 모듈: 이 논문에서는 GL2(F)의 순환 모듈을 사용하여 비허용적 표현을 구성했습니다. 다른 p-adic 환원 그룹에 대해서도 적절한 순환 모듈 이론이 개발된다면, 이를 활용하여 비슷한 구성을 시도해 볼 수 있습니다.
다이어그램 이론: Breuil-Paškūnas의 다이어그램 이론은 GLn(F)을 포함한 다양한 p-adic 환원 그룹에 적용 가능합니다. 따라서, 이 이론을 활용하여 다른 그룹에 대한 비허용적 표현을 구성하는 것이 가능할 수 있습니다.
포물선 유도: 이 논문에서는 GL2(F)의 비허용적 표현을 포물선 유도하여 GLn(F)의 비허용적 표현을 얻었습니다. 이와 유사하게, 다른 그룹에 대해서도 적절한 포물선 부분군을 선택하여 비허용적 표현을 구성할 수 있습니다.
어려움:

순환 모듈의 존재: 모든 p-adic 환원 그룹에 대해 적절한 순환 모듈이 존재하는 것은 아닙니다. 따라서, 다른 그룹에 대해서는 새로운 방법으로 순환 모듈을 구성하거나, 다른 종류의 표현을 사용해야 할 수도 있습니다.
다이어그램 이론의 복잡성: Breuil-Paškūnas의 다이어그램 이론은 매우 복잡하며, 다른 그룹에 적용하기 위해서는 상당한 기술적 어려움을 극복해야 할 수 있습니다.
기약성 증명: 구성된 표현이 기약임을 증명하는 것은 쉬운 일이 아닙니다. 이 논문에서는 spliced 모듈의 특수한 구조를 활용하여 기약성을 증명했지만, 다른 그룹에 대해서는 새로운 방법이 필요할 수 있습니다.
결론적으로, 이 논문에서 제시된 구성을 다른 p-adic 환원 그룹으로 확장하는 것은 가능성이 있지만, 몇 가지 어려움과 고려해야 할 사항들이 존재합니다. 이는 p-adic 환원 그룹의 표현론에서 흥미로운 연구 주제가 될 것입니다.

잔여체 필드가 Fp인 경우 GL2(F)에 대한 결과와 이 논문의 결과 사이의 관계는 무엇일까요?

잔여체 필드가 Fp인 경우, 즉 F = Qp인 경우 GL2(F)의 모든 절대 기약 표현은 허용적입니다. 이는 Berger, Barthel-Livné, Breuil의 연구 결과로 알려져 있습니다. 반면 이 논문에서는 잔여체 필드가 Fp의 진 적 확대체인 경우 GL2(F)의 비허용적 기약 표현을 구성했습니다.
두 결과는 모순되지 않으며, 오히려 잔여체 필드의 크기가 p-adic 환원 그룹의 표현론에 큰 영향을 미친다는 것을 보여줍니다. 잔여체 필드가 Fp인 경우, GL2(Fp)의 표현론은 상대적으로 단순하며, 모든 기약 표현은 주 계열 또는 특수 표현으로 분류됩니다. 이러한 단순성 때문에 GL2(Qp)의 모든 절대 기약 표현은 허용적입니다.
하지만 잔여체 필드가 커지면 GL2(F)의 표현론은 훨씬 복잡해집니다. 특히, supersingular 표현이라는 새로운 종류의 기약 표현이 등장하며, 이는 잔여체 필드가 Fp인 경우에는 존재하지 않습니다. 이 논문에서 구성된 비허용적 기약 표현은 바로 이 supersingular 표현에 속합니다.
요약하자면, 잔여체 필드가 Fp인 경우와 이 논문에서 다룬 경우의 차이는 다음과 같습니다.

잔여체 필드가 Fp: GL2(F)의 표현론은 상대적으로 단순하며, 모든 절대 기약 표현은 허용적입니다.
잔여체 필드가 Fp의 진 적 확대체: GL2(F)의 표현론은 훨씬 복잡하며, 비허용적 기약 표현 (supersingular 표현)이 존재합니다.

이러한 발견은 Langlands 프로그램과 p진수 환원 그룹의 표현의 분류에 어떤 영향을 미칠까요?

이 논문의 발견은 Langlands 프로그램과 p-adic 환원 그룹의 표현 분류에 다음과 같은 중요한 영향을 미칩니다.
1. Langlands 대응의 수정 가능성:

기존 Langlands 프로그램은 허용적 표현에 초점을 맞추고 있습니다. 하지만 이 논문에서 비허용적 기약 표현이 존재함을 보였기 때문에, Langlands 대응을 비허용적 표현까지 포함하도록 수정해야 할 필요성이 제기됩니다.
특히, Emerton, Gee, Hellmann, Zhu가 제시한 추측 (GLn(F)의 부드러운 표현 범주에서 Langlands 매개변수의 적절한 모듈리 스택에 대한 준 일관된 뭉치 범주로의 완전히 충실한 펑터가 존재해야 한다는 추측)은 수정되어야 할 수 있습니다. 비허용적 표현의 존재는 이 모듈리 스택의 기하학적 구조에 대한 추가적인 정보를 제공할 수 있습니다.
2. p-adic 환원 그룹의 표현 분류의 복잡성 증가:

이 논문의 결과는 p-adic 환원 그룹의 표현 분류가 예상보다 훨씬 복잡할 수 있음을 시사합니다. 특히, 잔여체 필드가 커질수록 비허용적 기약 표현의 존재 가능성이 높아지므로, 이러한 표현들을 분류하기 위한 새로운 방법론이 필요합니다.
기존의 분류 방법론 (예: Bernstein 중심, supercuspidal support)은 주로 허용적 표현에 초점을 맞추고 있기 때문에, 비허용적 표현까지 포함하는 일반화된 분류 이론을 개발하는 것이 중요합니다.
3. 새로운 연구 방향 제시:

이 논문의 결과는 비허용적 표현의 구조, 성질, Langlands 대응에서의 역할 등 다양한 후속 연구 과제를 제시합니다.
예를 들어, 비허용적 표현의 local Langlands 대응, mod p Langlands 대응에서의 역할, Arthur 분류에서의 역할 등을 연구하는 것은 매우 흥미로운 주제입니다.
결론적으로 이 논문의 발견은 Langlands 프로그램과 p-adic 환원 그룹의 표현론에 대한 우리의 이해를 넓히는 중요한 진전을 이루었으며, 앞으로 활발한 후속 연구를 통해 이 분야의 발전에 크게 기여할 것으로 기대됩니다.