ランダムグラフのツインウィズ

Główne pojęcia

ランダムグラフG(n, p)のツインウィズは、p∗≈0.4013を境に大きく異なる振る舞いを示す。p∗≤p≤1−p∗の場合、ツインウィズは漸近的に2p(1−p)nであるのに対し、0<p<p∗または1>p>1−p∗の場合、ツインウィズはそれよりも大幅に高くなる。また、G(n, 1/2)のツインウィズは、n/2−√3n log n/2の周りに集中することが分かった。

Streszczenie

本論文では、ランダムグラフG(n, p)のツインウィズについて調査した結果を報告する。
まず、(726 ln n)/n≤p≤1/2の場合、ツインウィズはΘ(n√p)であることを示した。これは先行研究の下界を改善するものである。
次に、p∗≈0.4013を境に、ツインウィズの振る舞いが大きく変わることを明らかにした。具体的には、p∗<p≤1/2の場合、ツインウィズは2pqn−√(6pq(1−2pq))n log n + o(√n log n)に集中するのに対し、0<p<p∗の場合、ツインウィズはより大きくなることを示した。
さらに、G(n, 1/2)のツインウィズは、n/2−√3n log n/2の周りに集中することを示した。これは、ツインウィズが従来の知見とは異なる振る舞いを示すことを意味している。

Statystyki

ツインウィズの上界は以下のように表される:

2pqn - √(6pq(1-2pq))n log n + o(√n log n) (p∗<p≤1/2の場合)
(2pq + c)n (0<p<p∗の場合)
ここで、p∗≈0.4013、q=1-pである。

Cytaty

"ランダムグラフG(n, p)のツインウィズは、p∗≈0.4013を境に大きく異なる振る舞いを示す。"
"G(n, 1/2)のツインウィズは、n/2−√3n log n/2の周りに集中する。"

Kluczowe wnioski z

Twin-width of random graphs

by Jungho Ahn,D... o arxiv.org 04-17-2024

https://arxiv.org/pdf/2212.07880.pdf

Głębsze pytania

ランダムグラフ以外のグラフ類におけるツインウィズの振る舞いはどのようなものか?

ツインウィズは、グラフの特性を表すパラメータであり、特定のグラフクラスにおいては有界であることが知られています。一般的に、ツインウィズが小さいほどグラフの構造が単純であると言えます。したがって、ツインウィズがランダムグラフ以外のグラフクラスにおいても同様に振る舞うかどうかは、そのグラフクラスの特性に依存します。例えば、木やサイクルなどの特定のグラフクラスでは、ツインウィズが比較的小さくなる傾向があります。一方で、完全グラフや極大クリークなどの密なグラフでは、ツインウィズが大きくなる可能性があります。