Główne pojęcia
본 논문에서는 커뮤니티 구조를 가진 네트워크, 즉 확률적 블록 모델(SBM)에서 감염병 확산의 대표적인 수학적 모델인 SIR(Susceptible-Infected-Recovered) 모델의 동역학을 분석하고, 감염의 전파 양상을 나타내는 대수의 법칙(LLN)을 집단 면역 개념을 이용하여 증명합니다.
Streszczenie
확률적 블록 모델에서의 SIR에 대한 대수의 법칙: 집단 면역을 통한 증명
본 연구는 확률적 블록 모델(SBM)에서의 SIR(Susceptible-Infected-Recovered) 모델의 동역학을 분석합니다. SIR 모델은 폐쇄된 유한한 인구 집단에서 질병의 확산을 설명하는 데 사용되는 단순한 모델입니다. SBM은 노드가 K개의 커뮤니티로 분할되고 정점 간의 연결 확률이 K × K 행렬로 결정되는 네트워크 모델입니다. 본 논문에서는 감염의 시간적 진행과 최종 규모에 대한 대수의 법칙(LLN)을 증명합니다.
확률적 블록 모델 (SBM)
K개의 커뮤니티와 연결 확률을 나타내는 K × K 행렬 W가 주어졌을 때, SBM은 다음과 같이 정의됩니다.
각 노드 v는 K개의 커뮤니티 중 하나에 속하며, 이를 나타내는 레이블 k(v)를 가집니다.
노드 u와 v 사이의 연결 확률은 (1/n) * Wk(u)k(v)이며, 모든 노드 쌍에 대해 독립적으로 결정됩니다.
포아송 확률적 블록 모델 (PSBM)
PSBM은 SBM과 유사하지만, 자기 루프와 다중 간선을 허용하는 모델입니다. PSBM에서 각 노드 쌍 {u, v}는 Auv개의 간선으로 연결되며, 각 노드 v는 Avv개의 자기 루프를 가집니다. 여기서 Auv = Avu ~ Pois(Wk(v)k(v)/n)이며, 모든 노드 쌍에 대해 독립적으로 결정됩니다.
SIR 모델
SIR 모델은 시간에 따라 감염 상태가 변하는 마르코프 과정으로, 각 시간 t에서 감염 가능한 노드 집합 VS(t), 감염된 노드 집합 VI(t), 회복된 노드 집합 VR(t)으로 구성됩니다. 감염된 노드 u는 감염 가능한 노드 v를 ηAuv의 비율로 감염시키고, γ의 비율로 회복됩니다.