Rekonstruktion dynamischer Systeme aus Daten ohne Zeitmarkierungen

Główne pojęcia

Durch die Behandlung der Beobachtungsdaten als Stichproben aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Minimierung des Sliced-Wasserstein-Abstands können die zugrunde liegenden dynamischen Systeme rekonstruiert werden, auch wenn die Zeitmarkierungen unbekannt sind.

Streszczenie

In dieser Arbeit wird eine Methode zur Rekonstruktion dynamischer Systeme aus Daten ohne Zeitmarkierungen vorgestellt. Solche Daten ohne Zeitmarkierungen treten in vielen Anwendungen auf, wie z.B. in der Molekulardynamik oder der Einzelzell-RNA-Sequenzierung.
Die Autoren beobachten, dass die herkömmlichen Methoden zur Rekonstruktion dynamischer Systeme aus Zeitreihendaten nicht anwendbar sind, wenn die Zeitmarkierungen unbekannt sind. Ohne Zeitmarkierungen werden die Sequenzdaten zu Verteilungsdaten. Basierend auf dieser Beobachtung schlagen die Autoren vor, die Daten als Stichproben aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu behandeln und versuchen, das zugrunde liegende dynamische System durch Minimierung des Sliced-Wasserstein-Abstands zu rekonstruieren.
Die Methode besteht aus zwei Phasen:

Parameteridentifikationsphase: Hier wird ein vorwärtsgerichteter nichtlinearer Kleinste-Quadrate-Ansatz (FSNLS) verwendet, um die Parameter des dynamischen Systems zu schätzen, indem der Sliced-Wasserstein-Abstand zwischen den generierten Trajektorien und den beobachteten Proben minimiert wird.

Verteilungsanpassungsphase: Hier wird ein tiefer neuronaler Netzwerkansatz verwendet, um eine Näherungsfunktion für die Lösung der Differentialgleichungen zu lernen, indem der Verteilungsabstand minimiert wird. Gleichzeitig wird eine physikbasierte Regularisierung verwendet, um die Glattheit der Lösungsfunktion sicherzustellen und eine Schätzung der verborgenen Dynamik zu liefern.

Die umfangreichen Experimente zeigen, dass die vorgeschlagene Methode in der Lage ist, die zugrunde liegenden dynamischen Systeme sowie die fehlenden Zeitmarkierungen aus den Beobachtungsdaten effektiv zu rekonstruieren, auch für komplexe Systeme wie Lorenz63 und Lotka-Volterra.

Statystyki

Die Beobachtungsdaten bestehen aus L verschiedenen Trajektorien eines unbekannten dynamischen Systems mit unterschiedlichen Anfangszuständen.
Die l-te Trajektorie ist eine Zufallsvariable tl mit einer bekannten Verteilung Pl, deren Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion pl ist.
Die Beobachtungspunkte xl
ob sind zufällige Vektoren, die durch Transformation von tl mittels der Dynamik xl(·) und Messfehler ϵ entstehen.

Cytaty

"Ohne Zeitmarkierungen werden die Sequenzdaten zu Verteilungsdaten."
"Basierend auf dieser Beobachtung schlagen wir vor, die Daten als Stichproben aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu behandeln und versuchen, das zugrunde liegende dynamische System durch Minimierung des Sliced-Wasserstein-Abstands zu rekonstruieren."

Kluczowe wnioski z

Reconstruction of dynamical systems from data without time labels

by Zhijun Zeng,... o arxiv.org 04-09-2024

https://arxiv.org/pdf/2312.04038.pdf

Głębsze pytania

Wie könnte man die Methode erweitern, um auch Systeme mit nicht-autonomen Differentialgleichungen zu rekonstruieren

Um auch Systeme mit nicht-autonomen Differentialgleichungen zu rekonstruieren, könnte die Methode durch die Integration von Zeit als zusätzlicher Variable erweitert werden. Dies würde es ermöglichen, die Abhängigkeit der Systemdynamik von der Zeit zu berücksichtigen. Durch die Einführung von Zeit als Variable in den Modellen könnte die Methode die zeitabhängigen Veränderungen im System erfassen und rekonstruieren.

Welche zusätzlichen Informationen oder Annahmen wären nötig, um die Eindeutigkeit der Rekonstruktion sicherzustellen, wenn die Beobachtungsverteilung nicht bekannt ist

Um die Eindeutigkeit der Rekonstruktion zu gewährleisten, wenn die Beobachtungsverteilung nicht bekannt ist, wären zusätzliche Informationen oder Annahmen erforderlich. Eine Möglichkeit wäre die Einführung von Regularisierungstermen, die die Struktur des Systems einschränken und die Anzahl der möglichen Lösungen begrenzen. Darüber hinaus könnten zusätzliche Beobachtungen oder Messungen an verschiedenen Zeitpunkten helfen, die Rekonstruktion zu verfeinern und die Eindeutigkeit zu gewährleisten.

Wie könnte man die Methode anpassen, um auch Systeme mit stochastischen Differentialgleichungen zu behandeln

Um auch Systeme mit stochastischen Differentialgleichungen zu behandeln, könnte die Methode durch die Integration von stochastischen Prozessen erweitert werden. Dies würde es ermöglichen, die Unsicherheit und den Zufallsfaktor in den Modellen zu berücksichtigen. Durch die Verwendung von Methoden wie stochastischen Differentialgleichungen oder probabilistischen Modellen könnte die Methode angepasst werden, um die Dynamik von Systemen mit stochastischen Komponenten zu erfassen.