Conceitos essenciais
本稿では、BCH符号の双対符号のパラメータを調べることで、MDS符号、ほぼMDS符号、およびニアMDS符号の無限ファミリーを構築し、これらの符号の最小重み符号語が3-デザインをサポートすることを証明しています。
Resumo
3-デザインを保持するほぼMDS符号の無限ファミリー
本稿は、符号理論、特にMDS(最大距離分離符号)、ほぼMDS符号、ニアMDS符号、およびこれらの符号と組合せデザイン、特にt-デザインとの関係に関するものです。
研究の背景と動機
符号理論における重要な目標の一つに、可能な限り高い符号化率と最小距離を持つ線形符号を設計することがあります。
MDS符号は、シングルトン限界を満たす符号であり、可能な限り最大の最小距離を持ちます。ニアMDS符号とほぼMDS符号は、MDS符号と同様の優れた特性を持つため、重要です。
t-デザインは、組合せデザイン理論における基本的な構造であり、符号理論との興味深い関連性を持ちます。
線形符号からt-デザインを構築することは、符号理論と組合せデザイン理論の両方にとって重要な研究課題です。
従来研究と課題
Assmus-Mattsonの定理は、線形符号からt-デザインを構築するための十分条件を提供します。
DingとTangは、狭義BCH符号を用いて、t = 2または3のt-デザインを保持するニアMDS符号の最初の2つの無限ファミリーを構築するという画期的な成果を挙げました。
しかし、t-デザインを保持するニアMDS符号の無限ファミリーは、まだほんの一握りしか知られていません。
本稿の貢献
本稿では、2つのクラスのBCH符号の双対符号のパラメータを調べることで、以下の結果を得ています。
MDS符号、ニアMDS符号、ほぼMDS符号の新しい無限ファミリーの構築:
F2s上のMDS符号の無限ファミリー。
任意の有限体Fps上のほぼMDS符号の2つの無限ファミリー。
F3s上のニアMDS符号の2つの無限ファミリー。
Gengらによる予想の解決:
ニアMDS符号C⊥(3s, 3s+1, 3, (3i-1)/2)の特定のサブクラスによって、[13, Conjecture 3.6]で提起された予想を解決しました。
t-デザインをサポートする符号の識別:
ほぼMDS符号C(q, q+1, 3, h)およびその双対符号の最小重み符号語は、それぞれ任意の素数冪qに対して3-デザインをサポートすることを証明しました。
また、Corollary 2で示されたニアMDS符号における重み5の符号語も、3-デザインをサポートすることを証明しました。
今後の研究課題
本稿で構築された符号の他の重みにおける符号語によってサポートされるt-デザインを調べる。
本稿の結果を拡張して、他の符号ファミリーから新しいt-デザインを構築する。
Estatísticas
本稿では、qを素数pの冪とし、UlをFq2におけるl次単位元の集合と定義しています。
本稿では、BCH符号C(q, q+1, 3, h)について、h = (q-pi)/2またはh = (pi-1)/2(pが奇数のとき)の場合を考察しています。
本稿では、gcd(i, s) = mと仮定しています。
本稿では、pm ≥ 3と仮定しています。