In dieser Arbeit werden erweiterte 1-perfekte Codes in Hammingräumen H(n, q) untersucht. Solche nichttrivialen Codes sind nur bekannt, wenn n = 2k, k ≥ 1, q = 2, oder n = q + 2, q = 2m, m ≥ 1.
Zunächst werden einige Grundlagen zu equitablen Partitionen und Krawtchouk-Polynomen eingeführt. Dann wird gezeigt, dass die Distanzpartition eines erweiterten 1-perfekten Codes auch im Graphen Hn(n, q) equitabel ist. Darauf aufbauend wird ein notwendiges Kriterium für die Existenz solcher Codes hergeleitet.
Schließlich wird bewiesen, dass erweiterte 1-perfekte Codes in H(n, q) nur für die oben genannten Fälle existieren, wenn q eine Primzahlpotenz ist. Der Beweis basiert auf einer Analyse der Struktur der Distanzpartition und Überlegungen zur Teilbarkeit gewisser Ausdrücke.
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by Konstantin V... às arxiv.org 03-19-2024
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