Die Arbeit befasst sich mit der Entwicklung eines Interior-Point-Verfahrens (IPM) für das effiziente Sampling von strukturierten logkonkaven Verteilungen. Dafür wird der Dikin-Walk als Sampling-Algorithmus innerhalb des IPM-Frameworks verwendet.
Im ersten Teil wird eine allgemeine Analyse des Dikin-Walks für logkonkave Verteilungen präsentiert, die über die bisherigen Arbeiten zur uniformen Verteilung hinausgeht. Dabei werden Mischzeitergebnisse unter Verwendung von selbstkonkordanten Barrieren und Symmetrieeigenschaften hergeleitet.
Im zweiten Teil wird das IPM-basierte Sampling-Verfahren "Gaussian Cooling with the Dikin Walk" (GCDW) entwickelt. Dieses nutzt den Dikin-Walk als lokalen Sampler und bietet eine effiziente Initialisierung sowie die Möglichkeit, über lineare Restriktionen und Normalverteilungen hinaus zu gehen.
Im dritten Teil wird eine Theorie zur Kombination selbstkonkordanter Barrieren für mehrere Nebenbedingungen und Potenziale entwickelt. Dies ermöglicht die Anwendung des GCDW-Verfahrens auf verschiedene strukturierte Verteilungen wie Polytope, Kegel zweiter Ordnung und den PSD-Kegel.
Abschließend werden konkrete Beispiele präsentiert, die zeigen, dass das GCDW-Verfahren deutlich effizientere Sampling-Algorithmen liefert als der Ball-Walk, insbesondere für Gauß-Verteilungen auf strukturierten Mengen.
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by Yunbum Kook,... às arxiv.org 03-25-2024
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